B1. В треугольнике АВС проведены медианы AL и CF, пересекающиеся в точке О. Найдите площадь четырёхугольника OFBL, если площадь треугольника АВС равна 54.

Эта задачка на свойства медиан треугольника. Давай разберёмся вместе!

Что дано?

• Треугольник ABC.
• AL и CF — медианы, которые пересекаются в точке O.
• Площадь треугольника ABC равна 54.

Что нужно найти?

• Площадь четырёхугольника OFBL.

Решение:

1. Свойства медиан: Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Площади треугольников: Центроид делит треугольник на 6 равновеликих треугольников.
3. Рассмотрим четырёхугольник OFBL: Он состоит из двух треугольников: ΔOFL и ΔOBL.
4. Площадь ΔOBL: Так как O — точка пересечения медиан, то BL = LC (L — середина AC). Медиана BL делит площадь ΔABC пополам, то есть площадь ΔABL = площадь ΔLBC = 54 / 2 = 27.
5. Площадь ΔOBL: Медиана AO делит ΔABL на два равновеликих треугольника: ΔAOB и ΔAOL. Аналогично, медиана CO делит ΔCBL на два равновеликих треугольника: ΔCOB и ΔCOL.
6. Площадь ΔAOB = Площадь ΔBOC = Площадь ΔCOA = 54 / 3 = 18 (так как медианы делят треугольник на 3 равновеликих треугольника, если смотреть из центра).
7. Площадь ΔOBL: Точка L — середина AC. Медиана BL делит ΔABC на два равных по площади треугольника. Точка O делит медиану AL в отношении AO:OL = 2:1.
8. Площадь ΔOFL: Площадь ΔAOC = 54 / 3 = 18. Медиана OL делит ΔAOC на два равных по площади треугольника: ΔAOL и ΔCOL. Но нам нужно ΔOFL.
9. Важный факт: Точка пересечения медиан (центроид) делит медиану в отношении 2:1.
10. Рассмотрим ΔABL: Площадь ΔABL = 54 / 2 = 27. AL — медиана. OL = 1/3 AL.
11. Площадь ΔOBL: Медиана AO делит ΔABL пополам, то есть площадь ΔAOB = площадь ΔAOL. Так как AL — медиана, то L — середина AC. CF — медиана, F — середина AB.
12. Площадь ΔOBL: Площадь ΔOBL = 1/3 площади ΔABL (так как OL = 1/3 AL и у них общее основание BL). Площадь ΔABL = 27. Значит, Площадь ΔOBL = 27 / 3 = 9.
13. Площадь ΔOFL: Площадь ΔACL = 54 / 2 = 27. CF — медиана. OF = 1/3 CF.
14. Площадь ΔOFL: Площадь ΔOCF = 18 (см. пункт 6). Медиана OF делит ΔOCF пополам. Площадь ΔOFL = Площадь ΔOCL.
15. Другой подход: Центроид O делит треугольник ABC на 6 равновеликих треугольников: ΔAOF, ΔBOF, ΔBOD, ΔCOD, ΔCOE, ΔAOE. (Это если бы BD, CE были медианами).
16. Известно, что площади треугольников, образованных медианами, равны.
17. Площадь ΔOBL: F — середина AB. Площадь ΔABC = 54. Площадь ΔABL = 27. Медиана AL делит ΔABL.
18. Рассмотрим треугольники, на которые медианы делят друг друга.
19. Площадь ΔABO = Площадь ΔBCO = Площадь ΔCAO = 54 / 3 = 18.
20. F — середина AB. Площадь ΔAFO = Площадь ΔBFO = 18 / 2 = 9.
21. L — середина AC. Площадь ΔCLO = Площадь ΔALO = 18 / 2 = 9.
22. Площадь четырёхугольника OFBL = Площадь ΔOFL + Площадь ΔOBL.
23. Площадь ΔOBL: Это один из 6 равных треугольников, на которые медианы делят треугольник. Площадь ΔOBL = 54 / 6 = 9.
24. Площадь ΔOFL: Это также один из 6 равных треугольников. Площадь ΔOFL = 54 / 6 = 9.
25. Площадь четырёхугольника OFBL = Площадь ΔOFL + Площадь ΔOBL = 9 + 9 = 18.

Ответ: 18