B11 Найдите сумму целых решений неравенства (0,31) x² - x + 4 / 2x² ≥ (0,31) 5 / x² .

Привет! Давай разберемся с этим неравенством вместе.

Исходное неравенство:

• \[ \left( 0.31 \right)^{\frac{x^2 - x + 4}{2x^2}} \geq \left( 0.31 \right)^{\frac{5}{x^2}} \]

Шаг 1: Анализ основания степени

Заметим, что основание степени (0,31) меньше 1. Когда мы сравниваем степени с основанием от 0 до 1, знак неравенства меняется на противоположный. Это значит, что показатель степени слева должен быть меньше или равен показателю степени справа.

Шаг 2: Сравнение показателей степени

• \[ \frac{x^2 - x + 4}{2x^2} \leq \frac{5}{x^2} \]

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю и решение неравенства

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $$x^2
eq 0$$, что означает $$x
eq 0$$.

Перенесем все в одну сторону:

• \[ \frac{x^2 - x + 4}{2x^2} - \frac{5}{x^2} \leq 0 \]

Приведем к общему знаменателю $$2x^2$$:

• \[ \frac{x^2 - x + 4}{2x^2} - \frac{5 \cdot 2}{x^2 \cdot 2} \leq 0 \]
• \[ \frac{x^2 - x + 4 - 10}{2x^2} \leq 0 \]
• \[ \frac{x^2 - x - 6}{2x^2} \leq 0 \]

Теперь нужно решить это дробно-рациональное неравенство. Знаменатель $$2x^2$$ всегда положителен при $$x
eq 0$$. Значит, знак всего неравенства зависит от знака числителя $$x^2 - x - 6$$.

Найдем корни числителя, приравняв его к нулю:

• $$x^2 - x - 6 = 0$$

Используем дискриминант:

• $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$
• $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
• $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Парабола $$y = x^2 - x - 6$$ ветвями вверх, значит, она отрицательна между корнями.

Итак, $$x^2 - x - 6 \leq 0$$ при $$-2 \leq x \leq 3$$.

Учитывая ОДЗ ($$x
eq 0$$), получаем интервал решений: $$[-2; 0) \cup (0; 3]$$.

Шаг 4: Нахождение суммы целых решений

Целые числа, которые входят в этот интервал:

• -2, -1, 1, 2, 3

Сумма этих целых чисел:

• $$(-2) + (-1) + 1 + 2 + 3 = 3$$

Ответ:

Сумма целых решений равна 3.