B14: Равнобедренный треугольник ABC вращается около его основания. Вычислите площадь поверхности S тела, полученного в результате вращения этого треугольника, если его основание равно 8, а один из углов равен 120°. В ответ запишите значение выражения 95/п.

Решение:

Треугольник ABC равнобедренный, основание AC = 8. Угол при вершине B равен 120°, значит, углы при основании A и C равны \( (180° - 120°) / 2 = 30° \).

При вращении вокруг основания AC образуется два конуса с общим основанием, радиус которого равен высоте, опущенной из вершины B на основание AC. Пусть это высота BH. В треугольнике ABH, \( ∠ BAH = 30° \), \( ∠ AHB = 90° \).

Рассмотрим треугольник ABH. Поскольку \( ∠ BAH = 30° \), то \( BH = AB \sin(30°) \) и \( AH = AB \cos(30°) \).

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей боковых поверхностей двух конусов. Радиус конуса r = BH. Высота большого конуса h₁ = AH, высота меньшего конуса h₂ = HC. Так как треугольник равнобедренный, то \( AH = HC = 8/2 = 4 \).

В треугольнике ABH: \( BH = AH \tan(30°) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \).

Образующая конуса L = AB. В треугольнике ABH: \( AB = \frac{AH}{\cos(30°)} = \frac{4}{\sqrt{3}/2} = \frac{8}{\sqrt{3}} \).

Площадь боковой поверхности конуса \( S = \pi r L \).

Площадь тела вращения \( S_{тела} = S_1 + S_2 = \pi BH · AB + \pi BH · BC \). Так как AB = BC, то \( S_{тела} = 2 \cdot \pi · BH · AB \).

\( S_{тела} = 2 \pi · \frac{4}{\sqrt{3}} · \frac{8}{\sqrt{3}} = 2 \pi · \frac{32}{3} = \frac{64\pi}{3} \).

Условие задачи указывает, что в ответ нужно записать значение выражения 95/п. Это означает, что результат вычисления должен быть представлен в виде отношения к \(\pi\).

\( \frac{S_{тела}}{\pi} = \frac{64}{3} \).

Сравним полученное значение с требуемым \( 95/\pi \). Похоже, что в условии задачи есть некоторая несостыковка, либо число 95 относится к другому условию. Если же принять, что ответ должен быть в виде числа, деленного на \(\pi\), то мы получили \( 64/3 \).

Однако, если пересмотреть условие, что один из углов равен 120°, то это угол при вершине B. Основание AC = 8. Тогда боковые стороны AB = BC. Углы при основании A и C равны \( (180° - 120°)/2 = 30° \). Высота BH падает на основание AC. \( AH = HC = 4 \). В треугольнике ABH: \( BH = AH \tan 30° = 4 · \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \). Образующая L = AB. \( AB = \frac{AH}{\cos 30°} = \frac{4}{\sqrt{3}/2} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \).

Площадь поверхности тела вращения \( S = \pi r l \), где r - радиус вращения, l - образующая. В данном случае, это два конуса с общим радиусом BH. Площадь боковой поверхности одного конуса \( S_1 = \pi · BH · AB \), второго \( S_2 = \pi · BH · BC \). Поскольку AB=BC, то \( S = 2 \pi · BH · AB \).

\( S = 2 \pi · \frac{4\sqrt{3}}{3} · \frac{8\sqrt{3}}{3} = 2 \pi · \frac{32 · 3}{9} = 2 \pi · \frac{32}{3} = \frac{64\pi}{3} \).

Если в ответе нужно записать значение выражения 95/п, то это некорректно. Предположим, что это число 95 является ответом, и тогда \( S = 95\pi \).

Возможно, что в условии задачи имеется в виду, что S = 95, и нужно найти \( 95/\pi \). Но это маловероятно.

Если принять, что основание равно 8, а высота, например, такая, что площадь поверхности равна \( 95\pi \).

Исходя из формулировки, в ответ просят записать значение выражения 95/п. Это значит, что итоговый ответ должен быть таким. Возможно, изначальная задача привела к этому.

Если S = \(\frac{64\pi}{3}\), то \( S/\pi = \frac{64}{3} \).

Возможно, что