B2 Решите уравнение $$4^x - 2^{x+1} = 48$$.

Решение:

1. Перепишем уравнение, используя свойства степеней: \( (2^2)^x - 2^x \cdot 2^1 = 48 \)
2. \( 2^{2x} - 2 \cdot 2^x = 48 \)
3. Введём замену: пусть \( t = 2^x \), где \( t > 0 \).
4. Уравнение примет вид: \( t^2 - 2t = 48 \)
5. Перенесём всё в одну сторону: \( t^2 - 2t - 48 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \)
7. \( \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \)
8. Найдём корни: \( t_1 = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) и \( t_2 = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)
9. Так как \( t = 2^x \) и \( t > 0 \), то \( t_2 = -6 \) не подходит.
10. Вернёмся к замене: \( 2^x = 8 \)
11. \( 2^x = 2^3 \)
12. Следовательно, \( x = 3 \)

Ответ: 3.