B2. В треугольнике АВС углы В и С относятся как 5 : 3, а угол А на 80° больше их разности. Найдите углы, на которые высота треугольника AD разбивает угол А.

Решение:

1. Обозначим углы треугольника: \( \angle B = 5x \), \( \angle C = 3x \).
2. Найдём разность углов В и С: \( \angle B - \angle C = 5x - 3x = 2x \).
3. По условию, \( \angle A = (\angle B - \angle C) + 80° = 2x + 80° \).
4. Сумма углов треугольника равна 180°: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \).
5. Подставим выражения для углов: \( (2x + 80°) + 5x + 3x = 180° \).
6. Решим уравнение: \( 10x + 80° = 180° \) \( 10x = 100° \) \( x = 10° \).
7. Найдём углы треугольника: \( \angle B = 5 \cdot 10° = 50° \), \( \angle C = 3 \cdot 10° = 30° \), \( \angle A = 2 \cdot 10° + 80° = 100° \).
8. Высота AD разбивает угол А на два угла: \( \angle BAD \) и \( \angle CAD \).
9. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. \( \angle ADB = 90° \). \( \angle BAD = 90° - \angle B = 90° - 50° = 40° \).
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. \( \angle ADC = 90° \). \( \angle CAD = 90° - \angle C = 90° - 30° = 60° \).
11. Проверим, что сумма этих углов равна \( \angle A \): \( \angle BAD + \angle CAD = 40° + 60° = 100° = \angle A \).

Ответ: высота AD разбивает угол А на углы 40° и 60°.