B8 Построить график функции y = |x - 3/2 + 2| - 1. Найти по графику: 16) D(f) 17) E(f) 18) Промежутки возрастания и убывания функции 19) Промежутки знакопостоянства функции 20) Наименьшее и наибольшее значения функции

Задание B8: График функции

Сначала упростим выражение под модулем:

\( y = |x - \frac{3}{2} + 2| - 1 = |x + \frac{1}{2}| - 1 \)

Теперь построим график функции \( y = |x + \frac{1}{2}| - 1 \).

График функции \( y = |x| \) — это "галочка" с вершиной в начале координат.

График функции \( y = |x + \frac{1}{2}| \) — это график \( y = |x| \), сдвинутый влево на \( \frac{1}{2} \) единицы.

График функции \( y = |x + \frac{1}{2}| - 1 \) — это график \( y = |x + \frac{1}{2}| \), сдвинутый вниз на 1 единицу.

Таким образом, вершина графика будет находиться в точке \( (-\frac{1}{2}; -1) \).

Анализ по графику:

16) Область определения функции D(f):

Функция определена для всех действительных значений \( x \).

\( D(f) = (-\infty; +\infty) \)

17) Область значений функции E(f):

Наименьшее значение функции равно -1 (в вершине). Значения функции не ограничены сверху.

\( E(f) = [-1; +\infty) \)

18) Промежутки возрастания и убывания функции:

Функция убывает при \( x < -\frac{1}{2} \) и возрастает при \( x > -\frac{1}{2} \).

Убывание: \( (-\infty; -\frac{1}{2}) \)

Возрастание: \( (-\frac{1}{2}; +\infty) \)

19) Промежутки знакопостоянства функции:

Функция равна нулю, когда \( |x + \frac{1}{2}| - 1 = 0 \) => \( |x + \frac{1}{2}| = 1 \).

Это означает, что \( x + \frac{1}{2} = 1 \) или \( x + \frac{1}{2} = -1 \).

\( x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) или \( x = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \).

Функция положительна \( (y > 0) \) вне отрезка между корнями.

Функция положительна: \( (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty) \)

Функция отрицательна: \( (-\frac{3}{2}; \frac{1}{2}) \)

20) Наименьшее и наибольшее значения функции:

Наименьшее значение функции — это значение в вершине графика, которое равно -1.

Наибольшего значения у функции нет, так как график уходит в плюс бесконечность.

Наименьшее значение: \( -1 \)

Наибольшее значение: не существует