Бабушка решила разделить конфеты между внуками поровну. Она обнаружила, что если бы конфет было на 15 штук больше, то их можно было бы разделить поровну. А если бы конфет было на 9 штук больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета. Сколько у бабушки внуков?

Пошаговое решение:

Пусть К - общее количество конфет, В - количество внуков.

Из условия задачи мы можем составить два уравнения:

1. Если бы конфет было на 15 больше, то их можно было бы разделить поровну:

\( К + 15 = n ∙ В \), где n - целое число.

2. Если бы конфет было на 9 больше, то осталась бы одна лишняя конфета:

\( К + 9 = m ∙ В + 1 \), где m - целое число.

Выразим К из первого уравнения: \( К = n ∙ В - 15 \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( (n ∙ В - 15) + 9 = m ∙ В + 1 \)

\( n ∙ В - 6 = m ∙ В + 1 \)

\( n ∙ В - m ∙ В = 7 \)

\( (n - m) ∙ В = 7 \)

Так как \( n \) и \( m \) — целые числа, то \( n - m \) также является целым числом. \( В \) (количество внуков) также целое число.

Уравнение \( (n - m) ∙ В = 7 \) означает, что \( В \) является делителем числа 7.

Делителями числа 7 являются 1 и 7.

По условию задачи, бабушка делит конфеты между внуками. Это подразумевает, что внуков больше одного, иначе деление не имело бы смысла.

Следовательно, количество внуков \( В = 7 \).

Проверим:

Если внуков 7, то:

\( К + 15 \) делится на 7.

\( К + 9 = 7m + 1 \). Отсюда \( К = 7m - 8 \).

Подставим \( К \) в первое условие:

\( (7m - 8) + 15 \) делится на 7.

\( 7m + 7 \) делится на 7. Это верно для любого целого \( m \).

Например, если \( m = 2 \), то \( K = 7 ∙ 2 - 8 = 14 - 8 = 6 \).

Проверка:

Если конфет 6, а внуков 7, то при добавлении 15 конфет (6+15=21), 21 делится на 7 (21/7=3).

Если конфет 6, а внуков 7, то при добавлении 9 конфет (6+9=15), 15 при делении на 7 дает остаток 1 (15 = 2*7 + 1).

Условия задачи выполняются.

Ответ: 7