(1 балл) Дан тетраэдр $$ABCD$$, у которого грани $$ABC$$ и $$ACD$$ являются равнобедренными треугольниками с общим основанием $$AC$$ и двугранный угол между ними прямой. Найдите длину ребра $$BD$$, если $$AB = 17$$, $$AC = 30$$, $$AD = 3\sqrt{29}$$.

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам дан тетраэдр $$ABCD$$, где грани $$ABC$$ и $$ACD$$ являются равнобедренными треугольниками с общим основанием $$AC$$, а двугранный угол между ними прямой. Известны длины $$AB = 17$$, $$AC = 30$$, $$AD = 3\sqrt{29}$$. Нужно найти длину ребра $$BD$$. Поскольку грани $$ABC$$ и $$ACD$$ являются равнобедренными треугольниками с общим основанием $$AC$$, то $$AB = BC = 17$$ и $$AD = DC = 3\sqrt{29}$$. Двугранный угол между гранями $$ABC$$ и $$ACD$$ прямой, значит, треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$ лежат в перпендикулярных плоскостях. Рассмотрим треугольник $$BCD$$. Зная длины сторон $$BC$$ и $$CD$$, а также зная, что треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$ лежат в перпендикулярных плоскостях, можно воспользоваться теоремой Пифагора в пространстве, чтобы найти длину стороны $$BD$$. Сначала найдем проекции точек $$B$$ и $$D$$ на прямую $$AC$$. Пусть $$B'$$ и $$D'$$ - проекции точек $$B$$ и $$D$$ соответственно на прямую $$AC$$. Так как угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ACD$$ прямой, то отрезки $$BB'$$ и $$DD'$$ перпендикулярны $$AC$$ и перпендикулярны друг другу. Пусть $$AC = 30$$. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB = BC = 17$$, то $$B'$$ - середина $$AC$$, а $$AB' = B'C = 15$$. Тогда по теореме Пифагора для треугольника $$ABB'$$: $$BB' = \sqrt{AB^2 - AB'^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$$. Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. Так как $$AD = CD = 3\sqrt{29}$$, то $$D'$$ - середина $$AC$$, а $$AD' = D'C = 15$$. Тогда по теореме Пифагора для треугольника $$ADD'$$: $$DD' = \sqrt{AD^2 - AD'^2} = \sqrt{(3\sqrt{29})^2 - 15^2} = \sqrt{9 \cdot 29 - 225} = \sqrt{261 - 225} = \sqrt{36} = 6$$. Так как $$BB'$$ и $$DD'$$ перпендикулярны плоскости $$ACD$$, а двугранный угол прямой, то $$BB' \perp DD'$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB'D'$$, где $$BB' = 8$$, $$DD' = 6$$ и $$B'D' = 0$$ (потому что $$B'$$ и $$D'$$ - середины $$AC$$). По теореме Пифагора для пространственного случая: $$BD = \sqrt{BB'^2 + DD'^2 + B'D'^2} = \sqrt{8^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$. Таким образом, длина ребра $$BD$$ равна 10.

Ответ: 10