2. (1 балл) На рисунке 2 АB||DE, ZCBA = 140°, ∠CDE = 130°. Докажите, что BC 1 CD. * При необходимости прямые можно продлить. Также можно использовать приём дополнительного построения.

Ответ: BC ⊥ CD

Пошаговое решение:

• Продлим BC до пересечения с DE в точке F.
• Так как AB || DE, то углы ∠CBF и ∠CFD являются односторонними при параллельных прямых и секущей CF. Сумма односторонних углов равна 180°.
• \[∠CBF = 180° - ∠CBA = 180° - 140° = 40°\]
• Теперь рассмотрим четырехугольник CDFB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
• \[∠BCD + ∠CBF + ∠CFD + ∠CDE = 360°\]
• Из этого следует, что: \[∠BCD = 360° - ∠CBF - ∠CFD - ∠CDE = 360° - 40° - (180°-130°) - 130° = 360° - 40° - 50° - 130° = 140°\] \[∠CFD = 180° - ∠CDE = 180° - 130° = 50°\]
• Сумма углов ∠BCD и ∠CDE равна: \[∠BCD + ∠CDE = 90°\] \[∠BCD + ∠DCF = 140° + 50° = 190°\]
• Альтернативное решение

  Построим прямую CG параллельную AB и DE. Тогда ∠BCG = 180° - ∠CBA = 180° - 140° = 40°. Следовательно, ∠GCD = ∠BCD - ∠BCG.

  Так как CG || DE, то ∠DCG = 180° - ∠CDE = 180° - 130° = 50°.

  Значит, ∠BCD = ∠BCG + ∠GCD = 40° + 50° = 90°.

• Таким образом, BC ⊥ CD.

Ответ: BC ⊥ CD