4. (1 балл) В треугольнике DEF на сторонах DE и EF отмечены точки К и L соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры КН и LP к прямой DF, причём КH = LP, ∠DKH = ∠PLF. Докажите, что DE = EF.

Рассмотрим решение задачи по геометрии, предложенной в задании.

Дано:

• Треугольник DEF.
• Точки K и L на сторонах DE и EF соответственно.
• KH и LP - перпендикуляры к DF.
• KH = LP.
• ∠DKH = ∠PLF.

Доказать: DE = EF.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники DKH и PLF. У них:
   KH = LP (по условию),
   ∠DKH = ∠PLF (по условию),
   ∠DHK = ∠FPL = 90° (так как KH и LP - перпендикуляры).
2. Следовательно, треугольники DKH и PLF равны по стороне и двум прилежащим углам (по первому признаку равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников следует, что DK = PF.
4. Рассмотрим треугольники DKE и PLE. Так как ∠DKH = ∠PLF, то смежные с ними углы ∠DKE и ∠PLE также равны (как смежные с равными). Значит, ∠DKE = ∠PLE.
5. DE = DK + KE, EF = EL + LF.
6. Рассмотрим треугольники KHE и LPE. KH = LP (по условию), KE = LE (так как треугольники DKH и PLF равны).
7. Треугольники DKE и PLE равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников), следовательно, DE = EF.

Таким образом, DE = EF, что и требовалось доказать.

Ответ: DE = EF.