(2 балла) Хорды РК и MS пересекаются в точке L. Найдите PL, если: 1. SL = 3; LM = 7; PL = LK; 2. LK = 50; SL: LM = 2: 3; SM = 25.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: 1) PL = \(\sqrt{21}\); 2) PL = 15

Краткое пояснение: Используем свойство пересекающихся хорд окружности.

По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
\(SL \cdot LM = PL \cdot LK\)
Дано, что \(SL = 3\), \(LM = 7\), и \(PL = LK\). Обозначим \(PL = x\), тогда \(LK = x\).
Подставим известные значения в уравнение:
\(3 \cdot 7 = x \cdot x\)
\(21 = x^2\)
\(x = \sqrt{21}\)
Таким образом, \(PL = \sqrt{21}\).

Дано: \(LK = 50\), \(SL : LM = 2 : 3\), \(SM = 25\). Нужно найти \(PL\).
Пусть \(SL = 2y\) и \(LM = 3y\). Тогда, по свойству пересекающихся хорд:
\(SL \cdot LM = PL \cdot LK\)
\(2y \cdot 3y = PL \cdot 50\)
\(6y^2 = 50PL\)
Также известно, что \(SM = SL + LM = 25\), следовательно:
\(2y + 3y = 25\)
\(5y = 25\)
\(y = 5\)
Теперь подставим значение \(y = 5\) в уравнение \(6y^2 = 50PL\):
\(6 \cdot 5^2 = 50PL\)
\(6 \cdot 25 = 50PL\)
\(150 = 50PL\)
\(PL = \frac{150}{50} = 3\)
Упс, тут какая-то накладка. Сделаем по-другому:
По свойству пересекающихся хорд: \(SL \cdot LM = PL \cdot LK\)
Мы знаем, что \(SL:LM = 2:3\), значит можно записать \(SL = 2x\) и \(LM = 3x\). Также дано \(SM = 25\).
Следовательно: \(SL + LM = SM\)
\(2x + 3x = 25\)
\(5x = 25\)
\(x = 5\)
Значит, \(SL = 2 \times 5 = 10\) и \(LM = 3 \times 5 = 15\)
Теперь используем свойство пересекающихся хорд:
\(PL \cdot LK = SL \cdot LM\)
\(PL \cdot 50 = 10 \cdot 15\)
\(PL \cdot 50 = 150\)
\(PL = \frac{150}{50} = 3\)

Ответ: 1) PL = \(\sqrt{21}\); 2) PL = 3