7. (2 балла) Найдите точку максимума функции у = 25-8x-x² 8. (2 балла) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t) = mo-2-1/T , где то – начальная масса изотопа, 1 – время, прошедшее от начального момента, Т - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 184 мг. Период его полураспада составляет 7 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 23 мг.

Задание 7

Рассмотрим функцию \( y = 2^{5-8x-x^2} \). Чтобы найти точку максимума, нужно найти производную этой функции и приравнять её к нулю.

Производная функции равна:

\[ y' = 2^{5-8x-x^2} \cdot \ln(2) \cdot (-8-2x) \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 2^{5-8x-x^2} \cdot \ln(2) \cdot (-8-2x) = 0 \]

Так как \( 2^{5-8x-x^2} > 0 \) и \( \ln(2) > 0 \), то уравнение сводится к:

\[ -8-2x = 0 \]

Решим уравнение:

\[ -2x = 8 \] \[ x = -4 \]

Чтобы убедиться, что это точка максимума, проверим знак производной слева и справа от этой точки.

Если \( x < -4 \), то \( -8-2x > 0 \), значит, производная положительна. Если \( x > -4 \), то \( -8-2x < 0 \), значит, производная отрицательна.

Таким образом, в точке \( x = -4 \) функция меняет знак с плюса на минус, что означает, что это точка максимума.

Ответ: Точка максимума функции: \( x = -4 \)

Задание 8

Дано: \( m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} \), \( m_0 = 184 \) мг, \( T = 7 \) мин, \( m(t) = 23 \) мг. Нужно найти \( t \).

Подставим известные значения в формулу:

\[ 23 = 184 \cdot 2^{-\frac{t}{7}} \]

Разделим обе части уравнения на 184:

\[ \frac{23}{184} = 2^{-\frac{t}{7}} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{1}{8} = 2^{-\frac{t}{7}} \]

Представим \( \frac{1}{8} \) как степень двойки:

\[ 2^{-3} = 2^{-\frac{t}{7}} \]

Так как основания равны, приравняем показатели степени:

\[ -3 = -\frac{t}{7} \]

Умножим обе части уравнения на -7:

\[ t = 21 \]

Ответ: Масса изотопа будет равна 23 мг через 21 минуту.