7. (15 баллов) Перед курьером Борисом поставлена следующая задача. Необходимо из пункта А пешком добраться до автомобиля, находящегося на дороге, взять груз и доставить его в пункт В как можно быстрее. Автомобиль может встретить и передать ему груз в любой точке дороги. В автомобиле свободных мест нет, поэтому подвезти Бориса он не сможет, Борис должен передвигаться только пешком, причем его скорость 2,5 км/ч. Кратчайшее расстояние от пункта А до дороги равно 1,7 км, кратчайшее расстояние от пункта В до дороги - 2,3 км, расстояние между пунктами, отсчитываемое вдоль дороги - 3,0 км (см. рисунок). За какое минимальное время Борис справится с поставленной задачей?

Решение:

Пусть x - расстояние, которое Борис пройдет по дороге от проекции точки A на дорогу до точки встречи с автомобилем. Тогда расстояние, которое Борис пройдет от точки A до дороги, равно 1,7 км. Далее он пройдет x км по дороге и (3 - x) км от дороги до точки B.

Расстояние от точки встречи до точки B равно $$ \sqrt{2.3^2 + (3-x)^2} $$.

Тогда общее время в пути составит:

$$ t = \frac{1.7}{2.5} + \frac{x}{2.5} + \frac{\sqrt{2.3^2 + (3-x)^2}}{2.5} $$

Чтобы найти минимальное время, нужно найти производную функции t(x) и приравнять её к нулю.

$$ t'(x) = \frac{1}{2.5} - \frac{2(3-x)}{2 \cdot 2.5 \cdot \sqrt{2.3^2 + (3-x)^2}} = 0 $$ $$ 1 = \frac{(3-x)}{\sqrt{2.3^2 + (3-x)^2}} $$ $$ \sqrt{2.3^2 + (3-x)^2} = 3-x $$

Это возможно только если 2,3 = 0, что неверно.

Рассмотрим случай, когда Борис идет до проекции точки B на дорогу, то есть x = 3 км. Тогда:

$$ t = \frac{1.7}{2.5} + \frac{3}{2.5} + \frac{2.3}{2.5} = \frac{1.7 + 3 + 2.3}{2.5} = \frac{7}{2.5} = 2.8 \text{ ч} $$

Рассмотрим случай, когда Борис идет до проекции точки A на дорогу, то есть x = 0 км. Тогда:

$$ t = \frac{1.7}{2.5} + \frac{\sqrt{2.3^2 + 3^2}}{2.5} = \frac{1.7 + \sqrt{5.29 + 9}}{2.5} = \frac{1.7 + \sqrt{14.29}}{2.5} \approx \frac{1.7 + 3.78}{2.5} = \frac{5.48}{2.5} \approx 2.19 \text{ ч} $$

Рассмотрим случай, когда Борис идет напрямую из точки А в точку В.

Расстояние между точками А и В равно $$ \sqrt{1.7^2 + 2.3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{1.7^2 + 2.3^2} \cdot cos(\alpha)} $$, где $$ \alpha $$ угол между проекцией отрезка дороги от А к В и прямой АВ. Это слишком сложно.

Однако, можно рассмотреть другой путь. Сначала Борис идет до дороги, а потом до точки В. В этом случае, x=0.

Тогда:

$$ t = \frac{\sqrt{1.7^2 + x^2}}{2.5} + \frac{\sqrt{2.3^2 + (3-x)^2}}{2.5} $$

Минимум будет в случае x=0.

Время в пути составит: $$t = \frac{\sqrt{1.7^2 + 0}}{2.5} + \frac{\sqrt{2.3^2 + 3^2}}{2.5} = \frac{1.7 + \sqrt{5.29 + 9}}{2.5} = \frac{1.7 + \sqrt{14.29}}{2.5} \approx \frac{1.7 + 3.78}{2.5} \approx 2.19$$

Давайте рассмотрим случай, когда x = 3. Тогда

$$t = \frac{\sqrt{1.7^2 + 3^2}}{2.5} + \frac{\sqrt{2.3^2 + 0}}{2.5} = \frac{\sqrt{2.89 + 9} + 2.3}{2.5} = \frac{\sqrt{11.89} + 2.3}{2.5} = \frac{3.45 + 2.3}{2.5} = \frac{5.75}{2.5} = 2.3$$

В проекции А:

$$t = \frac{1.7 + \sqrt{2.3^2 + 3^2}}{2.5} = \frac{1.7 + \sqrt{14.29}}{2.5} = \frac{1.7 + 3.78}{2.5} = 2.19$$

В проекции В:

$$t = \frac{\sqrt{1.7^2 + 3^2} + 2.3}{2.5} = \frac{\sqrt{11.89} + 2.3}{2.5} = \frac{3.45 + 2.3}{2.5} = 2.3$$

Ответ: 2.19 ч