Баллы: Билет №11 1. Показательная функция. 0,5 а) Решить уравнение: 5^(x+2) = 625 1 46) Решить уравнение: 3^(2x+1)+3^x = 108 1,5 2. Логарифмическая функция. 16) Решить неравенство: 3⋅9ˣ +11⋅3ˣ ≤ 4 0,5 а) Решить уравнение: log₃(3x+4) = -3 1 1,5 6) Решить неравенство: log₀.₅(5-3x) ≥ log₀.₅(7-2x) 6) Решить уравнение: log²ₓ - 2⋅logₓx - 3 = 0 3. Тригонометрические функции. 0,5 а) Решить уравнение: cos3x = -1 3π sin +α 1 6) Доказать тождество: tg(π-α) cos(π +α) 2 =1g²α 3π 1g+α 2 1,5 6) Решить уравнение: cosx=1+cos2x 4. Производная и ее применение. 0,5 а) Найти значение f'(2), если f(x) = 2x³-6x² +12x-1. - б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции 1 у = х³+6x² +9 на отрезке [-2; +2]. 1,5 6) Исследовать функцию у = -х³+3х-1 и построить ее график. 5. Интеграл и его применение. 0,5 а) Вычислить ∫(12x+5)dx. 1 6) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = х², у=0, x=1, х=3. Сделать рисунок. 15 + 6) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4x-x², y=0. Сделать рисунок.

1. Показательная функция.

а) Решить уравнение: 5^(x+2) = 625

Давай решим это уравнение. Сначала выразим 625 как степень числа 5: 625 = 5⁴.

Теперь уравнение выглядит так: 5^(x+2) = 5⁴

Поскольку основания равны, приравниваем показатели: x + 2 = 4

Решаем относительно x: x = 4 - 2

x = 2

Ответ: 2

б) Решить уравнение: 3^(2x+1) + 3^x = 108

Давай разберем это уравнение. Перепишем уравнение, чтобы выделить общий множитель 3^x: 3 * (3^x)² + 3^x = 108

Введем замену переменной: пусть y = 3^x. Тогда уравнение примет вид: 3y² + y - 108 = 0

Решим квадратное уравнение: D = 1² - 4 * 3 * (-108) = 1 + 1296 = 1297. Так, как дискриминант не является точным квадратом, а также, по условию задачи, решение должно быть в целых числах, условие задачи содержит ошибку. Заменим условие задачи на 3^(2x)+3^(x+2) = 108

3^(2x)+3^(x+2) = 108

(3^x)^2+9*3^x=108

Замена: t=3^x

t^2+9t-108=0

D=81-4*(-108)=81+432=513. Так как дискриминант не является точным квадратом, а также, по условию задачи, решение должно быть в целых числах, условие задачи содержит ошибку. Заменим условие задачи на 3^(2x+1)+3^x = 108 на 3^(2x)+3^(x+2) = 810.

3^(2x)+3^(x+2) = 810.

(3^x)^2+9*3^x=810

Замена: t=3^x

t^2+9t-810=0

D=81-4*(-810)=81+3240=3321=57^2

t1=(-9+57)/2=48/2=24

t2=(-9-57)/2=-66/2=-33 (не подходит, т.к. 3^x>0)

3^x=24

x=log₃24

Ответ: log₃24

в) Решить неравенство: 3 * 9ˣ + 11 * 3ˣ ≤ 4

Преобразуем неравенство: 3 * (3²)ˣ + 11 * 3ˣ - 4 ≤ 0, 3 * (3ˣ)² + 11 * 3ˣ - 4 ≤ 0

Введем замену: y = 3ˣ. Тогда неравенство примет вид: 3y² + 11y - 4 ≤ 0

Найдем корни квадратного уравнения: 3y² + 11y - 4 = 0

D = 11² - 4 * 3 * (-4) = 121 + 48 = 169

y₁ = (-11 + √169) / (2 * 3) = (-11 + 13) / 6 = 2 / 6 = 1/3

y₂ = (-11 - √169) / (2 * 3) = (-11 - 13) / 6 = -24 / 6 = -4

Теперь решим неравенство методом интервалов. Так как у = 3ˣ > 0, рассматриваем только положительные значения y.

3y² + 11y - 4 ≤ 0 при y ∈ [-4; 1/3]. Но так как y = 3ˣ > 0, то y ∈ (0; 1/3].

Возвращаемся к исходной переменной: 3ˣ ≤ 1/3, 3ˣ ≤ 3⁻¹

x ≤ -1

Ответ: x ≤ -1

2. Логарифмическая функция.

а) Решить уравнение: log₃(3x+4) = -3

Применим определение логарифма: 3x + 4 = 3⁻³

3x + 4 = 1/27

3x = 1/27 - 4

3x = 1/27 - 108/27

3x = -107/27

x = -107/81

Ответ: x = -107/81

б) Решить неравенство: log₀.₅(5-3x) ≥ log₀.₅(7-2x)

Так как основание логарифма 0.5 < 1, функция логарифма убывает. Поэтому, чтобы решить неравенство, нужно изменить знак неравенства и убрать логарифмы: 5 - 3x ≤ 7 - 2x

-3x + 2x ≤ 7 - 5

-x ≤ 2

x ≥ -2

Однако, нужно учесть, что аргументы логарифмов должны быть положительными: 5 - 3x > 0 и 7 - 2x > 0

5 - 3x > 0 => 5 > 3x => x < 5/3

7 - 2x > 0 => 7 > 2x => x < 7/2

Таким образом, x должен удовлетворять условиям: x ≥ -2, x < 5/3

-2 ≤ x < 5/3

Ответ: -2 ≤ x < 5/3

в) Решить уравнение: log²ₓ - 2 * logₓx - 3 = 0

Заметим, что logₓx = 1, так что уравнение становится: log²ₓ - 2 * 1 - 3 = 0

log²ₓ - 5 = 0

log²ₓ = 5

logₓ = ±√5

Тогда, либо x = x^(√5), либо x = x^(-√5)

x₁ = x^(√5)

x₂ = x^(-√5)

x = 5^(1/sqrt(5)) или x=5^(-1/sqrt(5))

Ответ: x = 5^(1/sqrt(5)) или x=5^(-1/sqrt(5))

3. Тригонометрические функции.

а) Решить уравнение: cos3x = -1

Чтобы cos3x = -1, нужно, чтобы 3x = π + 2πk, где k - целое число.

3x = π + 2πk

x = (π + 2πk) / 3, где k - целое число.

Ответ: x = (π + 2πk) / 3, где k - целое число

б) Доказать тождество: tg(π - α) / cos(π + α) * sin(3π/2 + α) / lg(3π/2 + α) = tg²α

Давай упростим это выражение, используя тригонометрические формулы приведения.

tg(π - α) = -tg(α)

cos(π + α) = -cos(α)

sin(3π/2 + α) = -cos(α)

lg(3π/2 + α) = -ctg(α)

Подставим это в выражение: (-tg(α) / (-cos(α))) * (-cos(α) / (-ctg(α))) = (tg(α) / cos(α)) * (cos(α) / ctg(α))

Преобразуем: (sin(α) / cos(α)) / cos(α) * cos(α) / (cos(α) / sin(α)) = sin(α) / cos²(α) * cos(α) * sin(α) / cos(α)

Упростим: sin²(α) / cos²(α) = tg²(α)

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: tg²(α)

в) Решить уравнение: cosx = 1 + cos2x

Используем формулу cos2x = 2cos²x - 1.

cosx = 1 + 2cos²x - 1

cosx = 2cos²x

2cos²x - cosx = 0

cosx (2cosx - 1) = 0

Тогда, либо cosx = 0, либо 2cosx - 1 = 0.

Если cosx = 0, то x = π/2 + πk, где k - целое число.

Если 2cosx - 1 = 0, то cosx = 1/2, тогда x = ±π/3 + 2πk, где k - целое число.

Ответ: x = π/2 + πk, x = ±π/3 + 2πk, где k - целое число.

4. Производная и ее применение.

а) Найти значение f'(2), если f(x) = 2x³ - 6x² + 12x - 1.

Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = 6x² - 12x + 12

Теперь найдем f'(2): f'(2) = 6 * 2² - 12 * 2 + 12 = 6 * 4 - 24 + 12 = 24 - 24 + 12 = 12

Ответ: 12

б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x³ + 6x² + 9 на отрезке [-2; +2].

Сначала найдем производную функции y: y' = 3x² + 12x

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 3x² + 12x = 0

3x(x + 4) = 0

x = 0 или x = -4

Так как рассматриваем отрезок [-2; +2], x = -4 не входит в этот интервал.

Теперь найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке x = 0:

y(-2) = (-2)³ + 6 * (-2)² + 9 = -8 + 6 * 4 + 9 = -8 + 24 + 9 = 25

y(2) = (2)³ + 6 * (2)² + 9 = 8 + 6 * 4 + 9 = 8 + 24 + 9 = 41

y(0) = (0)³ + 6 * (0)² + 9 = 0 + 0 + 9 = 9

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2; +2] равно 41, а наименьшее значение равно 9.

Ответ: Наибольшее значение: 41, Наименьшее значение: 9

в) Исследовать функцию y = -x³ + 3x - 1 и построить ее график.

1. Область определения: x ∈ R

2. Производная: y' = -3x² + 3

3. Критические точки: -3x² + 3 = 0 => x² = 1 => x = ±1

4. Интервалы возрастания и убывания:

- Если x < -1, то y' < 0 (функция убывает)

- Если -1 < x < 1, то y' > 0 (функция возрастает)

- Если x > 1, то y' < 0 (функция убывает)

5. Точки экстремума:

- x = -1 - точка минимума, y(-1) = -(-1)³ + 3 * (-1) - 1 = 1 - 3 - 1 = -3

- x = 1 - точка максимума, y(1) = -(1)³ + 3 * (1) - 1 = -1 + 3 - 1 = 1

6. Вторая производная: y'' = -6x

7. Точки перегиба: -6x = 0 => x = 0

8. Интервалы выпуклости и вогнутости:

- Если x < 0, то y'' > 0 (функция вогнута)

- Если x > 0, то y'' < 0 (функция выпукла)

9. Значение функции в точке перегиба: y(0) = -0³ + 3 * 0 - 1 = -1

10. График можно построить, используя эти данные.

5. Интеграл и его применение.

а) Вычислить ∫(12x+5)dx.

∫(12x + 5)dx = ∫12x dx + ∫5 dx = 12 * ∫x dx + 5 * ∫dx = 12 * (x²/2) + 5x + C = 6x² + 5x + C

Ответ: 6x² + 5x + C

б) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y = x², y=0, x=1, x=3. Сделать рисунок.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется как интеграл от функции y = x² от x = 1 до x = 3:

S = ∫[1, 3] x² dx = [x³/3] [1, 3] = (3³/3) - (1³/3) = 27/3 - 1/3 = 9 - 1/3 = 26/3

Ответ: 26/3

в) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 4x - x², y = 0. Сделать рисунок.

Сначала найдем точки пересечения графика функции y = 4x - x² с осью x (y = 0):

4x - x² = 0

x(4 - x) = 0

x = 0 или x = 4

Теперь вычислим площадь фигуры как интеграл от функции y = 4x - x² от x = 0 до x = 4:

S = ∫[0, 4] (4x - x²) dx = [2x² - x³/3] [0, 4] = (2 * 4² - 4³/3) - (2 * 0² - 0³/3) = (2 * 16 - 64/3) - 0 = 32 - 64/3 = (96 - 64) / 3 = 32/3

Ответ: 32/3