БАРИДИЧЕы 24.32 очная пникума функции f(x)= 3 / (2*sqrt(x)) + 2/3 * sqrt(x)

Решение:

Необходимо найти точки максимума функции \( f(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{3}\sqrt{x} \).

Для этого сначала найдём производную функции.

Перепишем функцию в виде: \( f(x) = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} \)

Найдем производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} \right) \]\[ f'(x) = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{1}{2}} \]\[ f'(x) = -\frac{3}{4} x^{-\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} x^{-\frac{1}{2}} \]\[ f'(x) = -\frac{3}{4x\sqrt{x}} + \frac{1}{3\sqrt{x}} \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ -\frac{3}{4x\sqrt{x}} + \frac{1}{3\sqrt{x}} = 0 \]\[ \frac{1}{3\sqrt{x}} = \frac{3}{4x\sqrt{x}} \]\[ 4x\sqrt{x} = 9\sqrt{x} \]Поскольку \( x \) находится под корнем, \( x > 0 \). Мы можем разделить обе части на \( \sqrt{x} \).

\( 4x = 9 \)

\( x = \frac{9}{4} \)

Проверим знак производной слева и справа от \( x = \frac{9}{4} \)

Возьмем точку \( x = 1 \) (меньше \( \frac{9}{4} \)):

\[ f'(1) = -\frac{3}{4(1)\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{1}} = -\frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{-9+4}{12} = -\frac{5}{12} \]Так как \( f'(1) < 0 \), функция убывает.

Возьмем точку \( x = 4 \) (больше \( \frac{9}{4} \)):

\[ f'(4) = -\frac{3}{4(4)\sqrt{4}} + \frac{1}{3\sqrt{4}} = -\frac{3}{16} + \frac{1}{6} = \frac{-9+8}{48} = -\frac{1}{48} \]Так как \( f'(4) < 0 \), функция также убывает. Обратите внимание, что в расчетах есть ошибка. Давайте пересчитаем \(f'(4)\).

\( f'(4) = -\frac{3}{4 × 4 × 2} + \frac{1}{3 × 2} = -\frac{3}{32} + \frac{1}{6} = \frac{-9+16}{96} = \frac{7}{96} \)

Так как \( f'(4) > 0 \), функция возрастает.

Следовательно, в точке \( x = \frac{9}{4} \) функция имеет локальный минимум.

Неверное условие задачи, так как функция имеет минимум, а не максимум.

Пример ввода ответа (-3;2,5)

Ответ: Точек максимума нет.