Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн руб. соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.

Решение:

Обозначим количество контейнеров типа А как \( x \), а количество контейнеров типа В как \( y \).

Из условия задачи имеем:

1. Грузоподъемность баржи: \( 2x + 5y ≤ 134 \) тонн.
2. Соотношение контейнеров: \( y ≥ 1.25x \).
3. Стоимость: \( C = 5x + 7y \) (в млн руб.).

Нам нужно максимизировать функцию \( C \) при заданных ограничениях.

Подставим \( y = 1.25x \) в первое неравенство, чтобы найти максимальное \( x \):

\( 2x + 5(1.25x) ≤ 134 \)

\( 2x + 6.25x ≤ 134 \)

\( 8.25x ≤ 134 \)

\( x ≤ \frac{134}{8.25} \approx 16.24 \)

Так как \( x \) должно быть целым числом, максимальное значение \( x = 16 \).

Теперь найдем соответствующее \( y \), используя условие \( y ≥ 1.25x \):

\( y ≥ 1.25 × 16 \)

\( y ≥ 20 \)

Проверим, не превышает ли общий вес 134 тонны:

\( 2x + 5y = 2 × 16 + 5 × 20 = 32 + 100 = 132 \) тонны. Это меньше или равно 134 тоннам, условие выполнено.

Теперь рассчитаем максимальную стоимость:

\( C = 5x + 7y = 5 × 16 + 7 × 20 = 80 + 140 = 220 \) млн руб.

Проверим другие возможные значения:

Если взять \( x = 15 \), то \( y ≥ 1.25 × 15 = 18.75 \). Возьмем \( y = 19 \).

Вес: \( 2 × 15 + 5 × 19 = 30 + 95 = 125 ≤ 134 \). Условие выполнено.

Стоимость: \( 5 × 15 + 7 × 19 = 75 + 133 = 208 \) млн руб.

Если взять \( x = 14 \), то \( y ≥ 1.25 × 14 = 17.5 \). Возьмем \( y = 18 \).

Вес: \( 2 × 14 + 5 × 18 = 28 + 90 = 118 ≤ 134 \). Условие выполнено.

Стоимость: \( 5 × 14 + 7 × 18 = 70 + 126 = 196 \) млн руб.

Максимальная стоимость достигается при \( x = 16 \) и \( y = 20 \).

Ответ: 220.