1. Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла еще 36 км, затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть $$x$$ км/ч - собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению реки равна $$(x+5)$$ км/ч, а против течения - $$(x-5)$$ км/ч. Время, которое баржа шла по течению, равно $$\frac{48}{x+5}$$ часов, а против течения - $$\frac{36}{x-5}$$ часов. Так как на весь путь баржа затратила 6 часов, то составим уравнение: $$\frac{48}{x+5} + \frac{36}{x-5} = 6$$ Умножим обе части уравнения на $$(x+5)(x-5)$$: $$48(x-5) + 36(x+5) = 6(x^2 - 25)$$ $$48x - 240 + 36x + 180 = 6x^2 - 150$$ $$84x - 60 = 6x^2 - 150$$ $$6x^2 - 84x - 90 = 0$$ Разделим обе части на 6: $$x^2 - 14x - 15 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 60}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{14 \pm 16}{2}$$ $$x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x = 15$$. Следовательно, собственная скорость баржи равна 15 км/ч.