5. Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч. Тогда её скорость по течению будет (x + 5) км/ч, а против течения - (x - 5) км/ч. Время, затраченное на движение по течению: \( \frac{32}{x+5} \). Время, затраченное на движение против течения: \( \frac{24}{x-5} \). Суммарное время: \( \frac{32}{x+5} + \frac{24}{x-5} = 4 \). Умножим на общий знаменатель: \( 32(x-5) + 24(x+5) = 4(x^2 - 25) \). Получим: \( 56x - 280 = 4x^2 - 100 \). Приведём к стандартному виду: \( 4x^2 - 56x + 180 = 0 \). Разделим на 4: \( x^2 - 14x + 45 = 0 \). Найдём корни: \( x = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1} \). \( x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2} = \frac{14 \pm 4}{2} \). \( x_1 = 9, \; x_2 = 5 \). Но \( x_2 = 5 \) невозможен (\( x-5 \) в знаменателе). \( x = 9 \) км/ч.