Баржа прошла по течению реки 72 км и, повернув обратно прошла еще 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Задание: Скорость баржи

Дано:

• Расстояние по течению: \( S_1 = 72 \) км.
• Расстояние против течения: \( S_2 = 54 \) км.
• Общее время в пути: \( T = 9 \) часов.
• Скорость течения реки: \( V_{теч} = 5 \) км/ч.

Найти: собственную скорость баржи \( V_{баржи \text{собст}} \).

Решение:

1. Пусть \( V_{баржи \text{собст}} \) — собственная скорость баржи.
2. Скорость баржи по течению: \( V_{по \text{теч}} = V_{баржи \text{собст}} + V_{теч} = V_{баржи \text{собст}} + 5 \) км/ч.
3. Скорость баржи против течения: \( V_{против \text{теч}} = V_{баржи \text{собст}} - V_{теч} = V_{баржи \text{собст}} - 5 \) км/ч.
4. Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{S_1}{V_{по \text{теч}}} = \frac{72}{V_{баржи \text{собст}} + 5} \) часов.
5. Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{S_2}{V_{против \text{теч}}} = \frac{54}{V_{баржи \text{собст}} - 5} \) часов.
6. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = T \).
7. Составляем уравнение: \[ \frac{72}{V_{баржи \text{собст}} + 5} + \frac{54}{V_{баржи \text{собст}} - 5} = 9 \]
8. Умножим обе части уравнения на \( (V_{баржи \text{собст}} + 5)(V_{баржи \text{собст}} - 5) \) для избавления от знаменателей: \[ 72(V_{баржи \text{собст}} - 5) + 54(V_{баржи \text{собст}} + 5) = 9(V_{баржи \text{собст}} + 5)(V_{баржи \text{собст}} - 5) \]
9. Раскроем скобки: \[ 72V_{баржи \text{собст}} - 360 + 54V_{баржи \text{собст}} + 270 = 9(V_{баржи \text{собст}}^2 - 25) \]
10. Приведём подобные слагаемые: \[ 126V_{баржи \text{собст}} - 90 = 9V_{баржи \text{собст}}^2 - 225 \]
11. Перенесём всё в одну сторону и приведём к стандартному виду квадратного уравнения \( a x^2 + b x + c = 0 \): \[ 9V_{баржи \text{собст}}^2 - 126V_{баржи \text{собст}} - 225 + 90 = 0 \]
12. \[ 9V_{баржи \text{собст}}^2 - 126V_{баржи \text{собст}} - 135 = 0 \]
13. Разделим всё уравнение на 9, чтобы упростить: \[ V_{баржи \text{собст}}^2 - 14V_{баржи \text{собст}} - 15 = 0 \]
14. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256 \]
15. Найдём корни уравнения: \( V_{баржи \text{собст}} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
16. \( V_{баржи \text{собст}} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{14 \pm 16}{2} \)
17. Два возможных значения: \( V_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) км/ч и \( V_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) км/ч.
18. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: собственная скорость баржи равна 15 км/ч.