Баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла еще 66 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Дано:

• \[ S_{\text{по течению}} = 84 \text{ км} \]
• \[ S_{\text{против течения}} = 66 \text{ км} \]
• \[ T_{\text{общее}} = 10 \text{ часов} \]
• \[ v_{\text{течения}} = 5 \text{ км/ч} \]

Найти:

• \[ v_{\text{баржи}} - ? \text{ км/ч} \]

Решение:

1. Обозначения:
   Пусть \[ v_б \] — собственная скорость баржи (км/ч),
   тогда скорость баржи по течению: \[ v_{\text{по теч.}} = v_б + v_{\text{теч.}} = v_б + 5 \text{ (км/ч)} \]
   скорость баржи против течения: \[ v_{\text{против теч.}} = v_б - v_{\text{теч.}} = v_б - 5 \text{ (км/ч)} \]
2. Время в пути:
   Время движения по течению: \[ T_{\text{по теч.}} = \frac{S_{\text{по течению}}}{v_{\text{по теч.}}} = \frac{84}{v_б + 5} \text{ (часов)} \]
   Время движения против течения: \[ T_{\text{против теч.}} = \frac{S_{\text{против течения}}}{v_{\text{против теч.}}} = \frac{66}{v_б - 5} \text{ (часов)} \]
3. Составление уравнения:
   Общее время в пути равно 10 часам: \[ T_{\text{по теч.}} + T_{\text{против теч.}} = T_{\text{общее}} \]
   \[ \frac{84}{v_б + 5} + \frac{66}{v_б - 5} = 10 \]
4. Решение уравнения:
   Умножим обе части уравнения на \[ (v_б + 5)(v_б - 5) \], чтобы избавиться от знаменателей:
   \[ 84(v_б - 5) + 66(v_б + 5) = 10(v_б + 5)(v_б - 5) \]
   \[ 84v_б - 420 + 66v_б + 330 = 10(v_б^2 - 25) \]
   \[ 150v_б - 90 = 10v_б^2 - 250 \]
   Перенесем все члены в одну сторону:
   \[ 10v_б^2 - 150v_б - 250 + 90 = 0 \]
   \[ 10v_б^2 - 150v_б - 160 = 0 \]
   Разделим все на 10:
   \[ v_б^2 - 15v_б - 16 = 0 \]
   Решим квадратное уравнение. Дискриминант \[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \]
   Найдем корни: \[ v_{б1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2(1)} = \frac{32}{2} = 16 \]
   \[ v_{б2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2(1)} = \frac{-2}{2} = -1 \]
5. Выбор ответа:
   Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень \[ v_{б2} = -1 \] не подходит.
   Следовательно, собственная скорость баржи равна \[ v_б = 16 \text{ км/ч} \].

Проверка:

• Скорость по течению: \[ 16 + 5 = 21 \text{ км/ч} \]. Время по течению: \[ \frac{84}{21} = 4 \text{ часа} \].
• Скорость против течения: \[ 16 - 5 = 11 \text{ км/ч} \]. Время против течения: \[ \frac{66}{11} = 6 \text{ часов} \].
• Общее время: \[ 4 + 6 = 10 \text{ часов} \]. Условие задачи выполнено.

Ответ: 16 км/ч