Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаBased on the image data, analyze the relationship between a sphere and a plane, including formulas and geometric interpretations.
Ответ:
Взаимное расположение сферы и плоскости
Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от её центра до плоскости.
Радиус сферы обозначим буквой \( R \), а расстояние от её центра (точка \( O \)) до плоскости \( \alpha \) – буквой \( d \). Если точка \( O \) не лежит в плоскости \( \alpha \), то проведём перпендикуляр \( OA \) к этой плоскости (рис. 117). Его длина равна расстоянию от точки \( O \) до плоскости \( \alpha \), т. е. \( OA = d \).
Возможны три случая:
1) \( d < R \)
Рассмотрим произвольную точку \( M \), лежащую как на сфере, так и в плоскости \( \alpha \) (рис. 117, a). Так как \( OM = R \), \( OA = d \) и \( OA \perp AM \) (поскольку \( OA \perp \alpha \)), то по теореме Пифагора:
\[ AM = \sqrt{OM^2 - OA^2} = \sqrt{R^2 - d^2} \]Верно и обратное: любая точка этой окружности лежит на сфере. Действительно, если точка \( M \) лежит на указанной окружности, то \( AM = \sqrt{R^2 - d^2} \), а так как \( OA = d \) и \( OA \perp AM \), то по теореме Пифагора:
\[ OM = \sqrt{AM^2 + OA^2} = \sqrt{(\sqrt{R^2 - d^2})^2 + d^2} = R \]Т. е. точка \( M \) лежит на данной сфере.
Таким образом, если расстояние \( d \) от центра сферы до плоскости меньше радиуса \( R \) сферы, то сечение сферы плоскостью (т. е. множество всех общих точек сферы и плоскости) есть окружность радиуса \( r = \sqrt{R^2 - d^2} \).
Ясно, что сечение шара плоскостью есть круг. Заметим также, что если плоскость проходит через центр шара (случай \( d = 0 \)), то в сечении шара получится круг радиуса \( R \), т. е. радиус круга равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара (рис. 118).
2) \( d = R \)
В этом случае \( OA = R \), откуда следует, что точка \( A \) лежит на сфере (рис. 117, б).
