BC32 CM 3. Найдите косинус урла М треугольника K (1; 7), (-2; 4), M (2; 0). Вариант 2 1. Найдите угол кду лучом ОВ и положительной полу- осью Ох, если В (3; 3, 2. Решите треугольник BCD, C≠ √3 см. если ∠B = 45°, ∠D = 60°, 3. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если А (3; 9), (0; 6), C (4; 2). КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 ариант 1 a 1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окруж сть, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольни вписанного в ту же окружность.

Вариант 1

Задача 1: Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.

Пусть P - периметр правильного треугольника, a - его сторона, а R - радиус описанной окружности. Тогда: \[P = 3a = 45 \Rightarrow a = 15 \text{ см}\] Радиус описанной окружности для правильного треугольника связан со стороной формулой: \[R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \text{ см}\] Теперь найдем сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность. Пусть b - сторона восьмиугольника. Тогда: \[b = 2R \sin(\frac{\pi}{n})\] где n - количество сторон многоугольника. В нашем случае n = 8, следовательно: \[b = 2R \sin(\frac{\pi}{8}) = 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \sin(22.5^\circ)\] Используем формулу \(\sin(x/2) = \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}\). Имеем \(\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\) Тогда: \[b = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = 5\sqrt{3(2 - \sqrt{2})} \text{ см}\]

Ответ: \[5\sqrt{3(2 - \sqrt{2})} \text{ см}\]

Вариант 2

Задача 1: Найдите угол между лучом OB и положительной полуосью Ox, если B(3; 3).

Пусть \(\alpha\) - угол между лучом OB и положительной полуосью Ox. Тогда координата точки B может быть выражена как: \[B(x, y) = B(R\cos(\alpha), R\sin(\alpha))\] где \(R = \sqrt{x^2 + y^2}\) - расстояние от начала координат до точки B. В нашем случае B(3; 3), следовательно: \[R = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] Тогда: \[\cos(\alpha) = \frac{x}{R} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\sin(\alpha) = \frac{y}{R} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Следовательно, \(\alpha = 45^\circ\).

Ответ: \[45^\circ\]

Задача 2: Решите треугольник BCD, если ∠B = 45°, ∠D = 60°, BC = √3 см.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, угол C равен: \[\angle C = 180^\circ - \angle B - \angle D = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\] Используем теорему синусов для нахождения сторон BD и CD: \[\frac{BC}{\sin(D)} = \frac{BD}{\sin(C)} = \frac{CD}{\sin(B)}\] \[\frac{\sqrt{3}}{\sin(60^\circ)} = \frac{BD}{\sin(75^\circ)} = \frac{CD}{\sin(45^\circ)}\] Так как \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то: \[\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\] \[BD = 2 \sin(75^\circ) = 2 \sin(45^\circ + 30^\circ) = 2(\sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\] \[CD = 2 \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\] Таким образом, мы нашли все углы и стороны треугольника BCD:

• ∠B = 45°
• ∠D = 60°
• ∠C = 75°
• BC = √3 см
• BD = (√6 + √2)/2 см
• CD = √2 см

Ответ: Полное решение треугольника BCD приведено выше.

Задача 3: Найдите косинус угла A треугольника ABC, если A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2).

Используем формулу косинуса угла между двумя векторами: \[\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}\] Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[\vec{AB} = B - A = (0 - 3; 6 - 9) = (-3; -3)\] \[\vec{AC} = C - A = (4 - 3; 2 - 9) = (1; -7)\] Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3)(1) + (-3)(-7) = -3 + 21 = 18\] Найдем длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] \[|\vec{AC}| = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] Теперь найдем косинус угла A: \[\cos(A) = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{3 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}\]

Ответ: \(\frac{3}{5}\)