BD – диаметры окружности с центром O. Угол АСВ равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( ∠ AOD \) является центральным углом, который опирается на дугу \( ∠ AD \).

Угол \( ∠ ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( ∠ AB \).

По условию \( ∠ ACB = 54^{\circ} \).

Так как \( ∠ ACB \) — вписанный угол, то величина дуги \( ∠ AB \) равна удвоенной величине этого угла: \( \text{дуга } AB = 2 \cdot ∠ ACB = 2 \cdot 54^{\circ} = 108^{\circ} \).

BD — диаметр окружности, поэтому дуга \( ∠ BDA \) составляет 180°.

Дуга \( ∠ AD \) равна разности между полукругом и дугой \( ∠ AB \): \( \text{дуга } AD = 180^{\circ} - \text{дуга } AB = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).

Центральный угол \( ∠ AOD \) равен величине дуги, на которую он опирается:

\( ∠ AOD = \text{дуга } AD = 72^{\circ} \).

Ответ: 72