B-1 Две стороныг 4-качал гавны 702 410, а γιαι между пищи - 45°. Найти бл. • Найпи, если Ра •= 13-2 • Две стороны л-ка равны 403 и 6 см, а угол липжду ними = 60. Найти St 144ам Найти если Р=74 см, стороны относятся как 5:7 a разность спіорон = 17 см. M ) В прямоугольном 4-ке в прямоугольнам 4-ке гипотенуза - попченицза= 51 см, а танине. ного = 15. ③ В = 75 см, а косинус одного гу углов = 25 Harmin St В равнобедренной трапеции + В прямоугольной перапеции боковые Роковая сторона - 10км, оны относятся стороны относятся как 4:5, а разность 4:27 разнать оснований оснований = 9 см, менышал диагональ 13 см магональ-Нам, агональ = Нам, разность ос Найний Sm? Ѕор? < 02/09 > +

• Вариант 1 (B-1)
• 1) Две стороны треугольника равны \(\frac{7}{\sqrt{2}}\) и 10, угол между ними 45°. Найти площадь.

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma),\] где a и b - стороны треугольника, \(\gamma\) - угол между ними.

В данном случае: a = \(\frac{7}{\sqrt{2}}\, b = 10, \(\gamma = 45^\circ\). Значение \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставляем значения в формулу: \[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{2}} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7 \cdot 10 \cdot \sqrt{2}}{4 \cdot \sqrt{2}} = \frac{70}{4} = 17.5\]

Ответ: S = 17.5

• 2) Найти площадь квадрата, если его периметр P = 144 см.

Периметр квадрата равен \(P = 4a\), где a - сторона квадрата. Из этого следует, что сторона квадрата равна \(a = \frac{P}{4}\).

В данном случае: P = 144 см, следовательно, \[a = \frac{144}{4} = 36\, \text{см}.\]

Площадь квадрата равна \(S = a^2\), следовательно, \[S = 36^2 = 1296\, \text{см}^2.\]

Ответ: S = 1296 см²

• 3) Стороны прямоугольного треугольника относятся как 5:7, гипотенуза равна 51 см, тангенс одного из углов равен \(\frac{8}{15}\). Найти площадь.

Пусть катеты прямоугольного треугольника будут 5x и 7x. Тогда по теореме Пифагора:

\[(5x)^2 + (7x)^2 = 51^2\]\[25x^2 + 49x^2 = 2601\]\[74x^2 = 2601\]\[x^2 = \frac{2601}{74}\]\[x = \sqrt{\frac{2601}{74}} \approx 5.93\]

Один из углов, тангенс которого равен \(\frac{8}{15}\), не соответствует отношению катетов 5:7. Вероятно, в условии есть опечатка, и отношение катетов должно быть связано с данным тангенсом.

Пусть один из углов имеет тангенс \(\frac{8}{15}\). Обозначим катет, противолежащий этому углу, как a, а прилежащий - как b. Тогда \(\frac{a}{b} = \frac{8}{15}\).

Пусть a = 8k, b = 15k. Тогда по теореме Пифагора:

\[(8k)^2 + (15k)^2 = 51^2\]\[64k^2 + 225k^2 = 2601\]\[289k^2 = 2601\]\[k^2 = \frac{2601}{289} = 9\]\[k = 3\]

Тогда a = 8 * 3 = 24 см, b = 15 * 3 = 45 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна \(S = \frac{1}{2}ab\), следовательно, \[S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 45 = 12 \cdot 45 = 540\, \text{см}^2.\]

Ответ: S = 540 см²

• 4) В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 10 см, диагональ равна 17 см, разность оснований равна 12 см. Найти площадь трапеции.

Пусть основания трапеции будут a и b, где b > a. Тогда b - a = 12 см.

Проведем высоту из вершины верхнего основания к нижнему. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - боковая сторона (10 см), а один из катетов - разность оснований (12 см). Это невозможно, так как гипотенуза должна быть больше катета.

Скорее всего, в условии допущена опечатка. Разность оснований не может быть больше боковой стороны. Допустим, разность оснований равна 6 см.

Тогда катет прямоугольного треугольника равен 6 см. По теореме Пифагора, высота трапеции равна:

\[h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\, \text{см}.\]

Теперь рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой и частью большего основания. Пусть x - часть большего основания, тогда:

\[x = \frac{b + a}{2}\]

Из теоремы Пифагора:

\[8^2 + (a + 6)^2 = 17^2\]\[64 + (a + 6)^2 = 289\]\[(a + 6)^2 = 225\]\[a + 6 = 15\]\[a = 9\, \text{см}\]

Тогда b = a + 6 = 9 + 6 = 15 см.

Площадь трапеции равна \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\), следовательно, \[S = \frac{9 + 15}{2} \cdot 8 = \frac{24}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96\, \text{см}^2.\]

Ответ: S = 96 см²

• Вариант 2 (B-2)
• 1) Две стороны треугольника равны \(4\sqrt{3}\) и 6 см, угол между ними 60°. Найти площадь.

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma),\] где a и b - стороны треугольника, \(\gamma\) - угол между ними.

В данном случае: a = \(4\sqrt{3}\), b = 6, \(\gamma = 60^\circ\). Значение \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Подставляем значения в формулу: \[S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 6 \cdot 3}{4} = 6 \cdot 3 = 18\]

Ответ: S = 18

• 2) Найти площадь квадрата, если его периметр P = 74 см, а разность сторон равна 17 см.

В данном случае даны периметр квадрата и разность сторон. Здесь явно ошибка, должен быть прямоугольник. Пусть одна сторона x, тогда другая x + 17. Периметр прямоугольника P = 2(a + b), где a и b - стороны прямоугольника. В данном случае: P = 74 см, следовательно, \[74 = 2(x + x + 17)\]\[74 = 2(2x + 17)\]\[37 = 2x + 17\]\[2x = 20\]\[x = 10\, \text{см}\]

Тогда другая сторона равна x + 17 = 10 + 17 = 27 см.

Площадь прямоугольника равна \(S = ab\), следовательно, \[S = 10 \cdot 27 = 270\, \text{см}^2.\]

Ответ: S = 270 см²

• 3) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 75 см, косинус одного из углов равен \(\frac{7}{25}\). Найти площадь.

Пусть гипотенуза равна c, а один из углов - \(\alpha\). Тогда \(\cos(\alpha) = \frac{7}{25}\).

Обозначим прилежащий катет как b, тогда \(\cos(\alpha) = \frac{b}{c}\), следовательно, \[b = c \cdot \cos(\alpha) = 75 \cdot \frac{7}{25} = 3 \cdot 7 = 21\, \text{см}.\]

По теореме Пифагора найдем другой катет a:

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{75^2 - 21^2} = \sqrt{5625 - 441} = \sqrt{5184} = 72\, \text{см}.\]

Площадь прямоугольного треугольника равна \(S = \frac{1}{2}ab\), следовательно, \[S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 72 = 21 \cdot 36 = 756\, \text{см}^2.\]

Ответ: S = 756 см²

• 4) В прямоугольной трапеции боковые стороны относятся как 4:5, а разность оснований равна 9 см, меньшая диагональ равна 13 см. Найти площадь трапеции.

Пусть боковые стороны будут 4x и 5x. Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон является высотой. Пусть высота равна 4x.

Разность оснований равна 9 см. Меньшая диагональ равна 13 см. Образуется прямоугольный треугольник, где один из катетов - высота (4x), а другой - меньшее основание.

Тогда по теореме Пифагора: \[13^2 = (4x)^2 + a^2\]

Другой прямоугольный треугольник образуется высотой, разностью оснований и боковой стороной 5x:

\[(5x)^2 = (4x)^2 + 9^2\]\[25x^2 = 16x^2 + 81\]\[9x^2 = 81\]\[x^2 = 9\]\[x = 3\]

Тогда высота равна 4x = 4 * 3 = 12 см, а боковая сторона равна 5x = 5 * 3 = 15 см.

Из первого прямоугольного треугольника: \[13^2 = 12^2 + a^2\]\[169 = 144 + a^2\]\[a^2 = 25\]\[a = 5\, \text{см}\]

Тогда большее основание равно a + 9 = 5 + 9 = 14 см.

Площадь трапеции равна \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\), следовательно, \[S = \frac{5 + 14}{2} \cdot 12 = \frac{19}{2} \cdot 12 = 19 \cdot 6 = 114\, \text{см}^2.\]

Ответ: S = 114 см²

Ответ: Решения задач представлены выше.