Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: \(\begin{cases}x^{\log_3 y}+2y\log_3 x=27,\\ \log_3 y-\log_3 x=1.\end{cases}\)Фото задания

Ответ:

Область допустимых значений: \(x>0\), \(y>0\).

  1. Из второго уравнения: \(\log_3\frac{y}{x}=1\), поэтому \(\frac{y}{x}=3\) и \(y=3x\).
  2. Обозначим \(t=\log_3 x\). Тогда \(x=3^t\), \(y=3^{t+1}\), а первое уравнение принимает вид \(3^{t(t+1)}+6t\cdot3^t=27\).
  3. При \(t=1\) равенство выполняется: \(9+18=27\). Отсюда \(x=3\), \(y=9\).
  4. Уравнение также имеет второй действительный корень \(t\approx-2.312\). Тогда \(x=3^t\approx0.0793\), \(y=3^{t+1}\approx0.238\). Этот корень находится численно; в элементарном виде он не выражается.

Оба полученных набора удовлетворяют системе.

Ответ: \((x,y)=(3,9)\) и приближённо \((0.0793,0.238)\).