B e Lans: △ABC; AB = 12an, <Au L L = 75° Найти: S4 ABC - ?

Дано: △ABC, AB = 12 см, ∠A = ∠C = 75°.

Найти: S△ABC

Решение:

Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 75° - 75° = 30°.

Проведём высоту BD к стороне AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нём ∠ADB = 90°, ∠A = 75°, AB = 12 см. Тогда AD = AB ⋅ cos A = 12 ⋅ cos 75°.

BD = AB ⋅ sin A = 12 ⋅ sin 75°.

AC = 2 * AD = 2 * 12 ⋅ cos 75° = 24 ⋅ cos 75°

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания на высоту, то есть S△ABC = 1/2 * AC * BD = 1/2 * (24 ⋅ cos 75°) * (12 ⋅ sin 75°) = 144 ⋅ cos 75° ⋅ sin 75°.

Используем формулу синуса двойного угла: sin 2α = 2sin α ⋅ cos α

S△ABC = 144 * (1/2 sin (2 * 75°)) = 72 * sin 150° = 72 * 1/2 = 36

Ответ: 36 см²