б)f/x) = x + \frac{9}{x} на отрезке [\frac{1}{2}; S]

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции.

   Дана функция: \[ f(x) = x + \frac{9}{x} \]

   Производная функции: \[ f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2} \]

2. Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и находим критические точки.

   \[ 1 - \frac{9}{x^2} = 0 \]

   \[ \frac{9}{x^2} = 1 \]

   \[ x^2 = 9 \]

   \[ x = \pm 3 \]

3. Шаг 3: Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку \[ \left[ \frac{1}{2}; 8 \right] \].

   Отрезку принадлежат: \[ x = 3 \]

   \[ x = -3 \] не принадлежит отрезку.

4. Шаг 4: Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
   • На левом конце отрезка: \[ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{9}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} + 18 = 18.5 \]
   • В критической точке: \[ f(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6 \]
   • На правом конце отрезка: \[ f(8) = 8 + \frac{9}{8} = 8 + 1.125 = 9.125 \]
5. Шаг 5: Сравниваем значения функции и выбираем наибольшее и наименьшее.

   Наибольшее значение: 18.5

   Наименьшее значение: 6