7 B HAP Дано: PB, PA, NA- насостельные arp (0;1) Вин-точки касательные PLILA Доказать: BPBHA Док-во

Решение:

• Рассмотрим окружность с центром O и радиусом r.
• PB и PA – касательные к окружности из точки P.
• NA – касательная к окружности из точки A.
• Так как PB и PA – касательные, то углы OBP и OAP – прямые углы (90 градусов).
• Угол между касательной NA и хордой AB равен углу, опирающемуся на эту хорду (теорема об угле между касательной и хордой).
• Пусть угол между NA и AB равен углу ∠A. Тогда угол ∠B, опирающийся на хорду AB, также равен ∠A.
• Рассмотрим четырехугольник BPBA. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов.
• Если точки B, P, B, H и A лежат на одной окружности, то четырехугольник BPBA должен быть вписанным в эту окружность.
• Для вписанного четырехугольника сумма противоположных углов должна быть равна 180 градусов. То есть, ∠B + ∠P = 180 градусов и ∠A + ∠B = 180 градусов.
• Поскольку ∠OBP = 90 градусов и ∠OAP = 90 градусов, то ∠B + ∠P = 180 градусов.
• Также, ∠A + ∠B = 180 градусов, так как ∠A = ∠B.
• Таким образом, четырехугольник BPBA является вписанным в окружность, что означает, что точки B, P, B, H и A лежат на одной окружности.

Что и требовалось доказать.