Биквадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз. 16x⁴ + 31x² - 2 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение вида $$ax^4 + bx^2 + c = 0$$. Для его решения сделаем замену переменной. Пусть $$y = x^2$$. Тогда уравнение примет вид:

\[ 16y^2 + 31y - 2 = 0 \]

Теперь это обычное квадратное уравнение относительно $$y$$. Решим его с помощью дискриминанта:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где $$a=16$$, $$b=31$$, $$c=-2$$.

1. Вычисляем дискриминант (D):

\[ D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \times 16 \times (-2) = 961 + 128 = 1089 \]

2. Находим корни квадратного уравнения для $$y$$:

\[ y_1 = \frac{-31 + \sqrt{1089}}{2 \times 16} = \frac{-31 + 33}{32} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} \]

\[ y_2 = \frac{-31 - \sqrt{1089}}{2 \times 16} = \frac{-31 - 33}{32} = \frac{-64}{32} = -2 \]

3. Возвращаемся к исходной переменной $$x$$ (где $$y = x^2$$):

Случай 1: $$y_1 = \frac{1}{16}$$

\[ x^2 = \frac{1}{16} \]

Извлекаем квадратный корень:

\[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{4} \]

Получаем два корня: $$x_1 = \frac{1}{4}$$ и $$x_2 = -\frac{1}{4}$$.

Случай 2: $$y_2 = -2$$

\[ x^2 = -2 \]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Итог: Действительные корни уравнения $$16x^4 + 31x^2 - 2 = 0$$ равны $$x = \frac{1}{4}$$ и $$x = -\frac{1}{4}$$.

Ответ: $$x = \pm \frac{1}{4}$$