Биквадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз. 2x^4 - 15x^2 + 28 = 0

Привет! Давай разберемся с этим биквадратным уравнением. Оно называется так, потому что степень переменной x — четвертая, а в уравнении присутствуют только четные степени.

1. Замена переменной

Чтобы упростить его, сделаем замену. Пусть $t=x^2$. Тогда $x^4=(x^2{)}^2=t^2$.

Подставляем это в наше уравнение:

$2t^2-15t+28=0$

Теперь у нас получилось обычное квадратное уравнение относительно $t$.

2. Решение квадратного уравнения

Найдем дискриминант (D) по формуле: $D=b^2-4ac$, где a=2, b=-15, c=28.

$D=(-15{)}^2-4\cdot 2\cdot 28=225-224=1$

Теперь найдем корни $t$:

$t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{15+\sqrt{1}}{2\cdot 2}=\frac{15+1}{4}=\frac{16}{4}=4$

$t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{15-\sqrt{1}}{2\cdot 2}=\frac{15-1}{4}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}=3.5$

3. Обратная замена

Теперь возвращаемся к нашей первоначальной переменной $x$. Вспоминаем, что $t=x^2$.

Случай 1: $t=4$

$x^2=4$

$x=\pm \sqrt{4}$

$x=\pm 2$

Случай 2: $t=3.5$

$x^2=3.5$

$x=\pm \sqrt{3.5}$

4. Ответ

Таким образом, у нашего уравнения четыре корня:

$x=2$, $x=-2$, $x=\sqrt{3.5}$, $x=-\sqrt{3.5}$.

Ответ: $x=\pm 2,\pm \sqrt{3.5}$