Биквадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз. 81x⁴ + 194x² – 147 = 0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

$$81y^2 + 194y - 147 = 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = 194^2 - 4 \cdot 81 \cdot (-147) = 37636 + 48564 = 86200 \]

Найдем корни уравнения для \( y \):

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-194 \pm \sqrt{86200}}{2 \cdot 81} = \frac{-194 \pm 10\sqrt{862}}{162} \]

Так как \( y = x^2 \), то \( y \) должно быть неотрицательным.

\( y_1 = \frac{-194 + 10\sqrt{862}}{162} \approx \frac{-194 + 10 \cdot 29.36}{162} \approx \frac{-194 + 293.6}{162} \approx \frac{99.6}{162} \approx 0.615 \)

\( y_2 = \frac{-194 - 10\sqrt{862}}{162} \approx \frac{-194 - 293.6}{162} \approx \frac{-487.6}{162} \approx -3.01 \)

Так как \( y_2 < 0 \), этот корень нам не подходит. Рассмотрим \( y_1 \).

\( x^2 = y_1 \)

\[ x = \(\pm\) \(\sqrt{y_1}\) = \(\pm\) \(\sqrt{\frac{-194 + 10\sqrt{862}}{162}}\) \(\approx\) \(\pm\) \(\sqrt{0.615}\) \(\approx\) \(\pm\) 0.784 \)

Ответ: \( x = \pm \sqrt{\frac{-194 + 10\sqrt{862}}{162}} \)