Биквадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз. 81x⁴ + 242x² - 3 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение вида at⁴ + bt² + c = 0. Сделаем замену переменной: пусть y = x². Тогда уравнение примет вид:

81y² + 242y - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно y, используя формулу дискриминанта: D = b² - 4ac.

a = 81, b = 242, c = -3.

D = 242² - 4 * 81 * (-3) = 58564 + 972 = 59536

Найдем корни для y:

y₁ = \(\frac{-242 + \sqrt{59536}}{2 * 81}\) = \(\frac{-242 + 244}{162}\) = \(\frac{2}{162}\) = \(\frac{1}{81}\)

y₂ = \(\frac{-242 - \sqrt{59536}}{2 * 81}\) = \(\frac{-242 - 244}{162}\) = \(\frac{-486}{162}\) = -3

Теперь вернемся к замене y = x²:

1) x² = y₁ = \(\frac{1}{81}\)

x = ±√{\(\frac{1}{81}\)} = ±\(\frac{1}{9}\)

2) x² = y₂ = -3

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительные корни исходного уравнения:

x₁ = \(\frac{1}{9}\), x₂ = -\(\frac{1}{9}\)

Ответ: x = ±\(\frac{1}{9}\).