Биквадратное уравнение. Решите уравнение 3x^4 - 5x^2 - 2 = 0. Выберите верный вариант ответа.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

• \( 3y^2 - 5y - 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем его корни через дискриминант:

• \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 · 3 · (-2) = 25 + 24 = 49 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \)

Найдем значения \( y \):

• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 · 3} = \frac{12}{6} = 2 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 · 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \).

1. \( x^2 = y_1 = 2 \)
• \( x = \pm\sqrt{2} \)
2. \( x^2 = y_2 = -\frac{1}{3} \)
• Действительных корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительные корни уравнения: \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \).

Ответ:

• \( x_1 = -\sqrt{2}, \quad x_2 = \sqrt{2} \)