Биквадратное уравнение. Решите уравнение 5x^4 - 7x^2 - 6 = 0. Выберите верный вариант ответа.

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $$y = x^2$$. Тогда уравнение примет вид:

• $$5y^2 - 7y - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$y$$, используя дискриминант ($$D = b^2 - 4ac$$):

• $$a = 5, b = -7, c = -6$$
• $$D = (-7)^2 - 4 imes 5 imes (-6) = 49 + 120 = 169$$
• $$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$$

Найдем корни $$y_1$$ и $$y_2$$:

• $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2 imes 5} = \frac{20}{10} = 2$$
• $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2 imes 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$$

Теперь вернемся к замене $$y = x^2$$:

• Случай 1: $$x^2 = y_1 = 2$$
• $$x = \pm \sqrt{2}$$
• Случай 2: $$x^2 = y_2 = -0.6$$
• Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительные корни уравнения:

• $$x_1 = - \sqrt{2}$$
• $$x_2 = \sqrt{2}$$

Сравним с предложенными вариантами:

• $$x_1 = - \sqrt{2}, x_2 = \sqrt{2}$$

Ответ: $$x_1 = - \sqrt{2}, x_2 = \sqrt{2}$$