Биквадратное уравнение Решите уравнение 4x⁴ – 19x² – 5 = 0. Выберите верный вариант ответа.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 4y^2 - 19y - 5 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + \sqrt{441}}{2 \cdot 4} = \frac{19 + 21}{8} = \frac{40}{8} = 5 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 21}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \]

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \):

1. \( x^2 = y_1 = 5 \) \(\,\Rightarrow\,\) \( x = \pm \sqrt{5} \).

2. \( x^2 = y_2 = -\frac{1}{4} \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительные корни исходного уравнения: \( x_1 = -\sqrt{5} \) и \( x_2 = \sqrt{5} \).

Ответ: x₁ = -√5, x₂ = √5.