37-§. Биквадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся ка 1. Решите уравнения: 1) x⁴-10x² + 9 = 0; 5) x⁴-3x²-4=0; 9) x⁴-5x² + 7 = 0; 2. Решите уравнения: 1) x⁴-9x²+20=0; 5) 4x⁴-17x² + 4 = 0; 9) x²+x² - 2 = 0; 3. Решите уравнения:

1. Решите уравнения:

1. x⁴ - 10x² + 9 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² - 10t + 9 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (-10)² - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64

   t₁ = (10 + √64) / 2 = (10 + 8) / 2 = 9

   t₂ = (10 - √64) / 2 = (10 - 8) / 2 = 1

   Возвращаемся к замене:

   x² = 9 → x₁ = 3, x₂ = -3

   x² = 1 → x₃ = 1, x₄ = -1

   Ответ: x₁ = 3, x₂ = -3, x₃ = 1, x₄ = -1

2. x⁴ - 5x² + 4 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² - 5t + 4 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

   t₁ = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4

   t₂ = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1

   Возвращаемся к замене:

   x² = 4 → x₁ = 2, x₂ = -2

   x² = 1 → x₃ = 1, x₄ = -1

   Ответ: x₁ = 2, x₂ = -2, x₃ = 1, x₄ = -1

3. x⁴ - 13x² + 36 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² - 13t + 36 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (-13)² - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25

   t₁ = (13 + √25) / 2 = (13 + 5) / 2 = 9

   t₂ = (13 - √25) / 2 = (13 - 5) / 2 = 4

   Возвращаемся к замене:

   x² = 9 → x₁ = 3, x₂ = -3

   x² = 4 → x₃ = 2, x₄ = -2

   Ответ: x₁ = 3, x₂ = -3, x₃ = 2, x₄ = -2

4. x⁴ - 50x² + 49 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² - 50t + 49 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (-50)² - 4 * 1 * 49 = 2500 - 196 = 2304

   t₁ = (50 + √2304) / 2 = (50 + 48) / 2 = 49

   t₂ = (50 - √2304) / 2 = (50 - 48) / 2 = 1

   Возвращаемся к замене:

   x² = 49 → x₁ = 7, x₂ = -7

   x² = 1 → x₃ = 1, x₄ = -1

   Ответ: x₁ = 7, x₂ = -7, x₃ = 1, x₄ = -1

5. x⁴ - 3x² - 4 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² - 3t - 4 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

   t₁ = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

   t₂ = (3 - √25) / 2 = (3 - 5) / 2 = -1

   Возвращаемся к замене:

   x² = 4 → x₁ = 2, x₂ = -2

   x² = -1 → нет действительных корней

   Ответ: x₁ = 2, x₂ = -2

6. x⁴ + 3x² - 4 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² + 3t - 4 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

   t₁ = (-3 + √25) / 2 = (-3 + 5) / 2 = 1

   t₂ = (-3 - √25) / 2 = (-3 - 5) / 2 = -4

   Возвращаемся к замене:

   x² = 1 → x₁ = 1, x₂ = -1

   x² = -4 → нет действительных корней

   Ответ: x₁ = 1, x₂ = -1

7. x⁴ + x² - 20 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² + t - 20 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (1)² - 4 * 1 * (-20) = 1 + 80 = 81

   t₁ = (-1 + √81) / 2 = (-1 + 9) / 2 = 4

   t₂ = (-1 - √81) / 2 = (-1 - 9) / 2 = -5

   Возвращаемся к замене:

   x² = 4 → x₁ = 2, x₂ = -2

   x² = -5 → нет действительных корней

   Ответ: x₁ = 2, x₂ = -2

8. x⁴ - 4x² - 5 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² - 4t - 5 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

   t₁ = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5

   t₂ = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1

   Возвращаемся к замене:

   x² = 5 → x₁ = √5, x₂ = -√5

   x² = -1 → нет действительных корней

   Ответ: x₁ = √5, x₂ = -√5

9. x⁴ - 5x² + 7 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² - 5t + 7 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (-5)² - 4 * 1 * 7 = 25 - 28 = -3

   Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

   Ответ: нет действительных корней

10. x⁴ + 3x² + 2 = 0

    Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

    t² + 3t + 2 = 0

    Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

    D = (3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1

    t₁ = (-3 + √1) / 2 = (-3 + 1) / 2 = -1

    t₂ = (-3 - √1) / 2 = (-3 - 1) / 2 = -2

    Возвращаемся к замене:

    x² = -1 → нет действительных корней

    x² = -2 → нет действительных корней

    Ответ: нет действительных корней

2. Решите уравнения:

1. x⁴ - 9x² + 20 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² - 9t + 20 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (-9)² - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1

   t₁ = (9 + √1) / 2 = (9 + 1) / 2 = 5

   t₂ = (9 - √1) / 2 = (9 - 1) / 2 = 4

   Возвращаемся к замене:

   x² = 5 → x₁ = √5, x₂ = -√5

   x² = 4 → x₃ = 2, x₄ = -2

   Ответ: x₁ = √5, x₂ = -√5, x₃ = 2, x₄ = -2

2. 4x⁴ - 17x² + 4 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   4t² - 17t + 4 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (-17)² - 4 * 4 * 4 = 289 - 64 = 225

   t₁ = (17 + √225) / 8 = (17 + 15) / 8 = 4

   t₂ = (17 - √225) / 8 = (17 - 15) / 8 = 1/4

   Возвращаемся к замене:

   x² = 4 → x₁ = 2, x₂ = -2

   x² = 1/4 → x₃ = 1/2, x₄ = -1/2

   Ответ: x₁ = 2, x₂ = -2, x₃ = 1/2, x₄ = -1/2

3. x⁴ + x² - 2 = 0

   Пусть t = x², тогда уравнение принимает вид:

   t² + t - 2 = 0

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   D = (1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

   t₁ = (-1 + √9) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 1

   t₂ = (-1 - √9) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2

   Возвращаемся к замене:

   x² = 1 → x₁ = 1, x₂ = -1

   x² = -2 → нет действительных корней

   Ответ: x₁ = 1, x₂ = -1