Биквадратные уравнения x4 - 5x² + 4 = 0 x² + 14x² - 32 = 0 3x4 + 8x² - 3 = 0 x4 - 10x² + 25 = 0 2x4 - x² + 3 = 0

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^4 + bx^2 + c = 0$$, где $$a
e 0$$. Решается заменой $$t = x^2$$, приводя уравнение к квадратному.

1. $$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$$

   Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

   $$t^2 - 5t + 4 = 0$$

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

   Корни:

   $$t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

   $$t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$

   Возвращаемся к замене:

   $$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$

   $$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

   Ответ: $$\pm 2, \pm 1$$

2. $$x^4 + 14x^2 - 32 = 0$$

   Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

   $$t^2 + 14t - 32 = 0$$

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   $$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324$$

   Корни:

   $$t_1 = \frac{-14 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-14 + 18}{2} = 2$$

   $$t_2 = \frac{-14 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-14 - 18}{2} = -16$$

   Возвращаемся к замене:

   $$x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$$

   $$x^2 = -16$$ (нет решений, т.к. квадрат не может быть отрицательным)

   Ответ: $$\pm \sqrt{2}$$

3. $$3x^4 + 8x^2 - 3 = 0$$

   Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

   $$3t^2 + 8t - 3 = 0$$

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   $$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$$

   Корни:

   $$t_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{1}{3}$$

   $$t_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = -3$$

   Возвращаемся к замене:

   $$x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$x^2 = -3$$ (нет решений, т.к. квадрат не может быть отрицательным)

   Ответ: $$\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$

4. $$x^4 - 10x^2 + 25 = 0$$

   Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

   $$t^2 - 10t + 25 = 0$$

   Это квадратное уравнение можно свернуть как полный квадрат: $$(t-5)^2 = 0$$

   Решаем:

   $$t = 5$$

   Возвращаемся к замене:

   $$x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5}$$

   Ответ: $$\pm \sqrt{5}$$

5. $$2x^4 - x^2 + 3 = 0$$

   Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

   $$2t^2 - t + 3 = 0$$

   Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$$

   Т.к. дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

   Ответ: нет действительных решений