Билет № 4 1) Сформулируйте определение и свойства ромба. 2) Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай) 3) B равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание. 4) Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=16, DC=24, AC=25.

Задача 3

Решение:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания.
• Так как угол при основании равен 45°, этот треугольник равнобедренный. Значит, катет, прилежащий к углу 45°, равен высоте и равен 5.
• Обозначим большее основание за \( a \), меньшее за \( b \), а проекцию боковой стороны на большее основание за \( x \). Тогда \( a = b + 2x \) (так как трапеция равнобедренная).
• Нам известно, что \( a = 14 \) и \( x = 5 \).
• Подставляем известные значения: \( 14 = b + 2 \cdot 5 \).
• Решаем уравнение: \( 14 = b + 10 \).
• \( b = 14 - 10 = 4 \).

Ответ: 4

Задача 4

Решение:

• Так как \( AB \) и \( DC \) лежат на параллельных прямых, то треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDM \) подобны (по двум углам).
• Из подобия треугольников следует, что \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{DC} \).
• Подставляем известные значения: \( \frac{AM}{MC} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \).
• Пусть \( AM = 2x \), тогда \( MC = 3x \).
• Известно, что \( AC = 25 \), следовательно, \( AM + MC = 25 \).
• Подставляем: \( 2x + 3x = 25 \).
• Решаем уравнение: \( 5x = 25 \), значит, \( x = 5 \).
• Тогда \( MC = 3x = 3 \cdot 5 = 15 \).

Ответ: 15