Билет № 3 1. Дайте определение биссектрисы, медианы, высоты треугольника. 2. Докажите один из признаков равенства прямоугольных треугольников. 3. Прямые т и п параллельны. Найдите 23, если ∠1 = 22°, z2 = 72°. 4. В равностороннем треугольнике АВС биссектрисы CN и АМ пересекаются в точке Р. Найдите ∠MPN.

Задача 1: Определения

Биссектриса треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, и делящий угол при этой вершине пополам.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

Задача 2: Признак равенства прямоугольных треугольников

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁ (∠C = ∠C₁ = 90°), у которых AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁.

Тогда треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по гипотенузе и катету.

По теореме Пифагора:

BC² = AB² - AC²

B₁C₁² = A₁B₁² - A₁C₁²

Так как AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁, то BC² = B₁C₁², следовательно, BC = B₁C₁.

Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трем сторонам.

Задача 3: Параллельные прямые

Дано: прямые m и n параллельны, ∠1 = 22°, ∠2 = 72°.

Найти: ∠3.

Решение:

Так как прямые m и n параллельны, то ∠1 и угол, смежный с ∠3, являются соответственными углами и равны. Обозначим угол, смежный с ∠3, как ∠4.

∠4 = ∠1 = 22°

Сумма углов ∠2 и ∠4 равна внутреннему одностороннему углу по отношению к параллельным прямым m и n и секущей.

∠2 + ∠4 + ∠3 = 180° (так как это смежные углы)

72° + 22° + ∠3 = 180°

94° + ∠3 = 180°

∠3 = 180° - 94°

∠3 = 86°

Ответ: ∠3 = 86°

Задача 4: Равносторонний треугольник и биссектрисы

В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Нужно найти ∠MPN.

Решение:

Так как треугольник ABC равносторонний, все его углы равны 60°.

∠A = ∠B = ∠C = 60°

AM и CN - биссектрисы углов A и C соответственно, поэтому:

∠CAM = ∠A / 2 = 60° / 2 = 30°

∠ACN = ∠C / 2 = 60° / 2 = 30°

Рассмотрим треугольник APC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠APC = 180° - ∠CAM - ∠ACN

∠APC = 180° - 30° - 30°

∠APC = 120°

∠MPN = ∠APC (вертикальные углы)

Следовательно, ∠MPN = 120°

Ответ: ∠MPN = 120°