Билет № 1

1. Многоугольник – это геометрическая фигура, образованная замкнутой ломаной линией, состоящей из отрезков, называемых сторонами многоугольника. Точки соединения этих отрезков называются вершинами многоугольника.

   Вершины многоугольника – это точки, в которых сходятся две соседние стороны многоугольника.

   Стороны многоугольника – это отрезки, соединяющие две соседние вершины многоугольника.

   Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника.

   Периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон.

   Формула суммы углов выпуклого многоугольника: $$S = (n - 2) \cdot 180^\circ$$, где n – количество углов (и, соответственно, сторон) многоугольника.

2. Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

   Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна полусумме оснований.

   Доказательство теоремы о средней линии треугольника:

   Пусть дан треугольник ABC, и MN – средняя линия, где M – середина AB, N – середина AC. Нужно доказать, что MN || BC и MN = 1/2 BC.

   Доказательство:

   Рассмотрим треугольники AMN и ABC.

   Т.к. M – середина AB, то AM = 1/2 AB.

   Т.к. N – середина AC, то AN = 1/2 AC.

   Угол A – общий для обоих треугольников.

   Следовательно, треугольники AMN и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (первый признак подобия треугольников).

   Из подобия треугольников следует, что угол AMN = углу ABC, а это соответственные углы при прямых MN и BC и секущей AB.

   Значит, MN || BC.

   Также из подобия следует, что MN/BC = AM/AB = 1/2, откуда MN = 1/2 BC.

   Таким образом, средняя линия MN параллельна стороне BC и равна её половине, что и требовалось доказать.