Билет № 1 1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору. 3) Радиус ОВ окружности с центром в точке О пересекает хорду АС в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды АС, если BD=1см, а радиус окружности равен 5см. 4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

1) Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали и периметр. Формула суммы углов выпуклого многоугольника.

Многоугольник – это геометрическая фигура, образованная замкнутой ломаной линией. Звенья этой линии называются сторонами многоугольника, а точки соединения звеньев – вершинами многоугольника.

Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника.

Периметр многоугольника – это сумма длин всех сторон многоугольника.

Формула суммы углов выпуклого многоугольника:

$$S = 180°(n - 2)$$

где n – количество углов многоугольника.

2) Теоремы о средних линиях треугольника и трапеции.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции, соединяющая середины ее боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме.

3) Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD=1 см, а радиус окружности равен 5 см.

Решение:

1. Так как радиус OB перпендикулярен хорде AC, то он делит её пополам. Обозначим точку пересечения радиуса OB и хорды AC как точку D. Тогда AD = DC.
2. Рассмотрим треугольник AOD. Он прямоугольный, так как OD перпендикулярен AC.
3. Найдём длину OD. Так как радиус OB равен 5 см, а BD = 1 см, то OD = OB - BD = 5 - 1 = 4 см.
4. Применим теорему Пифагора к треугольнику AOD: $$AO^2 = AD^2 + OD^2$$ $$5^2 = AD^2 + 4^2$$ $$25 = AD^2 + 16$$ $$AD^2 = 25 - 16 = 9$$ $$AD = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$
5. Так как AD = DC, то AC = 2 * AD = 2 * 3 = 6 см.

Ответ: 6 см.

4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение:

1. Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Тогда периметр P = 2(a + b) = 56, следовательно, a + b = 28.
2. Диагональ прямоугольника равна 20. По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$$.
3. Найдём площадь S = a * b. Выразим b через a: b = 28 - a.
4. Подставим в уравнение с диагональю: $$a^2 + (28 - a)^2 = 400$$
5. Раскроем скобки: $$a^2 + (28^2 - 2 * 28 * a + a^2) = 400$$
6. $$a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400$$
7. $$2a^2 - 56a + 384 = 0$$
8. $$a^2 - 28a + 192 = 0$$
9. Решим квадратное уравнение: $$D = (-28)^2 - 4 * 1 * 192 = 784 - 768 = 16$$
10. $$a_1 = \frac{28 + \sqrt{16}}{2} = \frac{28 + 4}{2} = \frac{32}{2} = 16$$
11. $$a_2 = \frac{28 - \sqrt{16}}{2} = \frac{28 - 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$$
12. Если a = 16, то b = 28 - 16 = 12. Если a = 12, то b = 28 - 12 = 16. В обоих случаях площадь S = a * b = 16 * 12 = 192.

Ответ: 192.