Билет № 12 8 1) Дайте определение окружности, вписанной в многоугольник, многоугольника, описанного около окружности. Назовите свойство описанного четырехугольника. 2) Сформулируйте и докажите свойства диагоналей ромба. 3) Площадь параллелограмма ABCD равна 60. Точка Е – середина стороны АВ. Найдите площадь трапеции DAEC. 4) Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ И СК перпендикулярны. Найдите ∠ КСВ, если / ABC=20°.

1) Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника являются касательными к окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Свойство описанного четырехугольника: в описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. 2) Свойства диагоналей ромба: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам. Доказательство: Рассмотрим ромб ABCD, где AC и BD — диагонали. Так как ромб является параллелограммом, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда AO = OC и BO = OD. Так как все стороны ромба равны, то AB = BC = CD = DA. Рассмотрим треугольники AOB и COB. У них: AB = BC (стороны ромба), AO = OC (диагонали делятся пополам), BO — общая сторона. Следовательно, треугольники AOB и COB равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников). Отсюда следует, что углы AOB и COB равны. Так как эти углы смежные и равны, то каждый из них равен 90°, то есть диагонали ромба перпендикулярны. Так как треугольники AOB и COB равны, то углы ABO и CBO также равны. Значит, диагональ BD является биссектрисой угла ABC. Аналогично доказывается, что AC — биссектриса угла BAD, BD — биссектриса угла ADC, AC — биссектриса угла BCD. 3) Площадь параллелограмма ABCD равна 60. Точка E - середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC. Площадь трапеции DAEC составляет 3/4 от площади параллелограмма ABCD. $$S_{DAEC} = \frac{3}{4} S_{ABCD} = \frac{3}{4} \cdot 60 = 45$$ 4) Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите ∠ KCB, если ∠ ABC=20°. Отрезки AE и CK - высоты треугольника ABC. Точка пересечения высот треугольника - ортоцентр. Пусть O - точка пересечения AE и CK, тогда O - ортоцентр треугольника ABC. ∠ KCB = 90° - ∠ ABC = 90° - 20° = 70° Ответ: 1) определение окружности, вписанной в многоугольник и описанной около окружности, свойство описанного четырехугольника. 2) сформулированы и доказаны свойства диагоналей ромба. 3) 45. 4) 70°.