Билет № 12 1) Дайте определение окружности, вписанной в многоугольник, многоугольника, описанного около окружности. Назовите свойство описанного четырехугольника. 2) Сформулируйте и докажите свойства диагоналей ромба. 3) Площадь параллелограмма ABCD равна 60. Точка Е - середина стороны АВ. Найдите площадь трапеции DAEC. 4) Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите / КСВ, если / АВС=20°.

1) Окружность, вписанная в многоугольник:

• Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

Многоугольник, описанный около окружности:

• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности.

Свойство описанного четырехугольника:

• В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

2) Свойства диагоналей ромба:

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
• Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3) Площадь трапеции DAEC:

• Площадь параллелограмма ABCD равна 60.
• Точка E - середина стороны AB, следовательно, AE = EB.
• Площадь треугольника ADE равна половине площади параллелограмма, так как AE = 1/2 AB.
• Площадь треугольника ADE = 1/2 * Площадь ABCD = 1/2 * 60 = 30.
• Площадь трапеции DAEC = Площадь ABCD - Площадь треугольника BEC.
• Площадь треугольника BEC = 1/4 * Площадь ABCD = 1/4 * 60 = 15 (так как BE = 1/2 AB и высота такая же, как у параллелограмма).
• Площадь трапеции DAEC = 60 - 15 = 45.

4) Угол KCB:

• Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно.
• Отрезки AE и CK перпендикулярны.
• Угол ABC = 20°.
• В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.
• Так как AE ⊥ CK, то ∠AKC = 90°.
• В четырехугольнике AKEC сумма углов ∠AKC + ∠AEC = 180°, значит, около четырехугольника AKEC можно описать окружность.
• ∠KAE = ∠KCE (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).
• ∠KEA = ∠KCA (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).
• Рассмотрим треугольник KBC. ∠KBC = ∠ABC = 20°.
• В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠BCA = 180° - 20° = 160°.
• ∠KCB = 70°.

1) Окружность вписанная в многоугольник и описанный многоугольник, свойство описанного четырехугольника.

2) Свойства диагоналей ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны, являются биссектрисами его углов и точкой пересечения делятся пополам.

3) Площадь трапеции DAEC равна 45.

4) ∠KCB = 70°.