Билет № 5. 1. Дайте определение параллельных прямых и сформулируйте их свойства. 2. Докажите свойство биссектрисы, проведенной к основанию в равнобедренном треугольнике. 3. Один из двух смежных углов в 5 раз больше другого. Найдите эти углы. 4. На рисунке EDC = 2KDC, DE = DK, < ECD = 30°. Найдите < ЕСК.

Решение:

1. По условию, ∠EDC = ∠KDC. Пусть ∠KDC = x, тогда ∠EDC = x.

2. Так как DE = DK, то треугольник DEK - равнобедренный, и ∠DEK = ∠DKE.

3. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, в треугольнике DEK:

   ∠EDK + ∠DEK + ∠DKE = 180°

   ∠EDK + 2∠DEK = 180°

   ∠DEK = (180° - ∠EDK) / 2

4. По условию, ∠EDC = ∠KDC = x, значит, ∠EDK = 2x.

   ∠DEK = (180° - 2x) / 2 = 90° - x

5. Рассмотрим треугольник EDC. Сумма углов в треугольнике EDC равна 180°:

   ∠EDC + ∠DEC + ∠ECD = 180°

   x + ∠DEC + 30° = 180°

   ∠DEC = 150° - x

6. Угол DEK является частью угла DEC:

   ∠DEC = ∠DEK + ∠KEC

   150° - x = 90° - x + ∠KEC

   ∠KEC = 60°

7. Так как DE = DK и ∠EDC = ∠KDC, то DC - биссектриса угла EDK.

8. Рассмотрим треугольники EDC и KDC. У них:

   • DE = DK (по условию)
   • DC - общая сторона
   • ∠EDC = ∠KDC (по условию)

   Следовательно, треугольники EDC и KDC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

9. Из равенства треугольников следует, что ∠ECD = ∠KCD = 30°, значит, треугольник EKC - равнобедренный, и EC = KC.

10. Угол ECK равен углу ECD, так как CK - биссектриса угла ECD.

    ∠ECK = ∠ECD = 30°

Ответ: ∠ECK = 30°