Решение задач из билета №9

Задача 3

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=15, CosA=5/7. Найдите АВ.

Нам дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Известна сторона AC и косинус угла A. Нужно найти гипотенузу AB.

Вспоминаем определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$$ Cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $$

В нашем случае:

$$ Cos A = \frac{AC}{AB} $$

Нам известно Cos A = 5/7 и AC = 15. Подставляем значения в формулу и получаем:

$$ \frac{5}{7} = \frac{15}{AB} $$

Теперь нужно найти AB. Для этого можно воспользоваться свойством пропорции:

$$ AB = \frac{15 \cdot 7}{5} $$

Вычисляем:

$$ AB = \frac{105}{5} = 21 $$

Ответ: AB = 21

Задача 4

Около трапеции, один из углов которой равен 44°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.

Разберемся, что это за трапеция. Если около трапеции описана окружность, то эта трапеция равнобедренная. Это важное свойство.

Пусть данная трапеция ABCD, где углы A и D при основании, а углы B и C - другие углы. Пусть угол A = 44°.

Свойство 1: В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Значит, угол D = углу A = 44°.

Свойство 2: Если около четырехугольника описана окружность, то суммы противоположных углов равны 180°. Значит, A + C = 180° и B + D = 180°.

Находим угол C:

$$ C = 180° - A = 180° - 44° = 136° $$

Так как трапеция равнобедренная, то угол B = углу C = 136°.

Ответ: Остальные углы трапеции: 44°, 136°, 136°.