Билет № 9 1) Дайте определение секущей и касательной к окружности. Сформулируйте свойство касательной к окружности. 2) Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника. 7 3) В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC=15, CosA=. Найдите АВ. 4) Около трапеции, один из углов которой равен 44°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. Билет № 10 1) Дайте определение центрального и вписанного углов окружности. Сформулируйте свойство вписанного угла. 2) Запишите формулы площадей параллелограмма, ромба, трапеции. Запишите вывод одной из формул (по выбору). 3) Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы 35° и 42°. Найдите больший угол параллелограмма. 4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Рассмотрим задачи из билета № 9.

1. Определение секущей к окружности: Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

   Определение касательной к окружности: Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

   Свойство касательной к окружности: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Свойство диагоналей прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

   Доказательство:

   Пусть дан прямоугольник ABCD, где углы A, B, C и D прямые. AC и BD — диагонали. Рассмотрим треугольники ABC и DCB. У них BC — общая сторона, AB = DC (как противоположные стороны прямоугольника), и углы ABC и DCB равны 90°. Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что AC = BD. Пусть O — точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC и BO = OD, так как диагонали в точке пересечения делятся пополам.

3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 15, CosA = 5/7. Найдите AB.

   CosA = AC / AB

   AB = AC / CosA

   AB = 15 / (5/7)

   AB = 15 * (7/5)

   AB = 3 * 7

   AB = 21

   Ответ: 21

4. Около трапеции, один из углов которой равен 44°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.

   Если около трапеции описана окружность, то трапеция равнобедренная. Сумма противоположных углов описанной трапеции равна 180°.

   Пусть один из углов трапеции равен 44°. Тогда противоположный ему угол равен 180° - 44° = 136°.

   В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Значит, два угла трапеции равны 44°, а два других равны 136°.

   Ответ: 44°, 44°, 136°, 136°.

Рассмотрим задачи из билета № 10.

1. Определение центрального угла окружности: Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.

   Определение вписанного угла окружности: Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

   Свойство вписанного угла: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

2. Формулы площадей:

   • Параллелограмм: $$S = a \cdot h$$, где a — основание, h — высота.
   • Ромб: $$S = a^2 \cdot sin(\alpha)$$, где a — сторона ромба, α — угол ромба.
   • Трапеция: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$, где a и b — основания трапеции, h — высота.

   Вывод формулы площади параллелограмма:

   Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем высоту BH к стороне AD. Тогда площадь параллелограмма равна S = AD * BH.

3. Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы 35° и 42°. Найдите больший угол параллелограмма.

   Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.

   Углы, которые образует диагональ со сторонами, являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых (сторонах параллелограмма) и секущей (диагонали).

   Один из углов параллелограмма можно найти, сложив углы, которые образует диагональ со сторонами: 35° + 42° = 77°.

   Противоположный угол параллелограмма также равен 77°.

   Другой угол параллелограмма равен 180° - 77° = 103°.

   Больший угол параллелограмма равен 103°.

   Ответ: 103°

4. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

   Периметр трапеции равен сумме всех её сторон. P = a + b + 2c, где a и b — основания, c — боковая сторона.

   56 = 8 + 18 + 2c

   56 = 26 + 2c

   2c = 30

   c = 15

   Высоту трапеции можно найти, проведя две высоты из вершин меньшего основания к большему. Образуется прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.

   Разница оснований: (18 - 8) / 2 = 5.

   Высота трапеции h = √(15² - 5²) = √(225 - 25) = √200 = 10√2.

   Площадь трапеции S = ((a+b)/2) * h = ((8+18)/2) * 10√2 = (26/2) * 10√2 = 13 * 10√2 = 130√2.

   Ответ: $$130\sqrt{2}$$