Билет № 9. 1. Дайте определение внешнего угла треугольника и сформулируйте его свойство. 2. Докажите свойство накрест лежащих углов при параллельных прямых. 3. Найти острые углы треугольника АВС. A 150 C B B C A 2 D 4. На рисунке BC = AD, <1 = <2, <ACD = 42°, ∠ADC = 108°, CD =6 см. Найдите АВ, ∠ САВ, ∠ ABC.

Задача 1

Внешний угол треугольника - это угол, смежный с одним из углов треугольника. Свойство: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

Задача 2

Свойство накрест лежащих углов при параллельных прямых: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Задача 3

Дано: треугольник ABC, ∠C = 90°, внешний угол при вершине B равен 150°.

Найти: острые углы треугольника ABC.

Решение:

• ∠B = 180° - 150° = 30° (так как внешний и внутренний углы смежные).
• ∠A = 90° - 30° = 60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).

Ответ: ∠A = 60°, ∠B = 30°

Задача 4

Дано: BC = AD, ∠1 = ∠2, ∠ACD = 42°, ∠ADC = 108°, CD = 6 см.

Найти: AB, ∠CAB, ∠ABC.

Решение:

• Рассмотрим четырехугольник ABCD. Так как BC = AD и ∠1 = ∠2, то ABCD - параллелограмм (по признаку параллелограмма).
• ∠CDA = ∠ABC = 108° (противоположные углы параллелограмма равны).
• ∠BCD = 180° - ∠ADC = 180° - 108° = 72° (сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°).
• ∠BCA = ∠BCD - ∠ACD = 72° - 42° = 30°.
• ∠CAD = ∠BCA = 30° (накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).
• ∠CAB = ∠CDA - ∠ACD - ∠BCA = 108 - (42 + 30) = 108 - 72= 36°.
• AB = CD = 6 см (противоположные стороны параллелограмма равны).

Ответ: AB = 6 см, ∠CAB = 36°, ∠ABC = 108°