Билет №10 1) Дайте определение вписанного и центрального углов окружности. 2) Докажите признак параллелограмма по двум противоположным сторонам, которые равны и параллельны. 3) Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? 4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Задание №1

Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Центральный угол - это угол, вершина которого находится в центре окружности.

Задание №2

Признак параллелограмма по двум противоположным сторонам: Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Задание №3

Пусть высота фонаря равна h, а расстояние от человека до столба равно 8 шагам. Тень человека равна 4 шагам. Рост человека 1,7 м.

Составим пропорцию, используя подобие треугольников:

\[\frac{h}{1.7} = \frac{8+4}{4}\]

\[\frac{h}{1.7} = \frac{12}{4}\]

\[h = 1.7 \cdot 3\]

\[h = 5.1\]

Ответ: 5,1 м

Задание №4

Основания равнобедренной трапеции: a = 8, b = 18. Периметр P = 56.

Найдем боковую сторону c:

\[P = a + b + 2c\]

\[56 = 8 + 18 + 2c\]

\[56 = 26 + 2c\]

\[2c = 30\]

\[c = 15\]

Теперь найдем высоту h. Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона, а один из катетов — полуразность оснований:

\[x = \frac{b - a}{2} = \frac{18 - 8}{2} = 5\]

По теореме Пифагора:

\[h^2 = c^2 - x^2\]

\[h^2 = 15^2 - 5^2\]

\[h^2 = 225 - 25\]

\[h^2 = 200\]

\[h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\]

Площадь трапеции:

\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]

\[S = \frac{8 + 18}{2} \cdot 10\sqrt{2}\]

\[S = 13 \cdot 10\sqrt{2}\]

\[S = 130\sqrt{2}\]

Ответ: Площадь трапеции равна 130√2