Билет 12. 1. Определение параллельных прямых и параллельных отрезков. Сформулировать аксиому параллельных прямых. 2. Доказать теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника ( прямую или обратную). Следствия из теоремы. 3. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.

Здравствуйте, ученики! Сегодня мы разберем задачи из билета №12. 1. Определение параллельных прямых и параллельных отрезков. Сформулировать аксиому параллельных прямых. * Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы мы их ни продолжали. * Параллельные отрезки – это отрезки, лежащие на параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида): Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. 2. Доказать теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника (прямую или обратную). Следствия из теоремы. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол. *Прямая теорема*: Если $$\angle A > \angle B$$, то $$BC > AC$$. *Обратная теорема*: Если $$BC > AC$$, то $$\angle A > \angle B$$. Доказательство прямой теоремы: Пусть дан треугольник ABC, в котором $$\angle A > \angle B$$. Докажем, что $$BC > AC$$. 1. Отложим на стороне BC отрезок BD, равный стороне BA. 2. Тогда в треугольнике ABD: $$BA = BD$$, следовательно, $$\triangle ABD$$ – равнобедренный, и $$\angle 1 = \angle 3$$. 3. $$\angle A$$ – внешний угол треугольника ADC, следовательно, $$\angle A > \angle 2$$. 4. По условию, $$\angle A > \angle B$$, а так как $$\angle 1 = \angle 3$$, то $$\angle 3 > \angle 2$$. 5. В треугольнике ADC против большего угла лежит большая сторона, следовательно, $$DC > AD$$. 6. Так как $$AD = BA = BD$$, то $$DC > BD$$. 7. Следовательно, $$BC = BD + DC > BD + BD = 2BD$$, а так как $$BC > 2BD$$, то $$BC > BD = BA$$. 8. Таким образом, $$BC > BA$$, что и требовалось доказать. Следствия из теоремы: 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов. 2. В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, больше любой другой стороны. 3. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство. На рисунке изображён параллелограмм PQRS. Необходимо найти пары равных треугольников и доказать их равенство. Рассмотрим треугольники $$\triangle PQR$$ и $$\triangle RSP$$. 1. $$PQ = RS$$ (как противоположные стороны параллелограмма) 2. $$QR = SP$$ (как противоположные стороны параллелограмма) 3. $$PR$$ – общая сторона. Следовательно, $$\triangle PQR = \triangle RSP$$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Ответ:$$\triangle PQR = \triangle RSP$$ Надеюсь, это объяснение было понятным и полезным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!