Билет № 10 1 Определение прямоугольного треугольника. Стороны и уг прямоугольного треугольника 2 Теорема о вертикальных углах(доказательство). 3 Найдите острые углы треугольника MNK. 4 В окружности с центром Ο проведены радиусы OM, Докажите, что треугольники МОК и NOK равны, если известно, что хорды МК и КП равны.

Задание 3: Найдите острые углы треугольника MNK.

В прямоугольном треугольнике MNK, где угол K = 90°, MK = 5 см, NK = 10 см. Нужно найти углы M и N.

• Шаг 1: Определим тангенс угла M как отношение противолежащего катета к прилежащему: \[\tan(M) = \frac{NK}{MK} = \frac{10}{5} = 2\]
• Шаг 2: Найдем угол M, взяв арктангенс от 2: \[M = \arctan(2) \approx 63.43^\circ\]
• Шаг 3: Угол N можно найти, зная, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°: \[N = 90^\circ - M \approx 90^\circ - 63.43^\circ \approx 26.57^\circ\]

Ответ: Угол M ≈ 63.43°, угол N ≈ 26.57°.

Задание 4: Докажите, что треугольники MOK и NOK равны, если известно, что хорды MK и KN равны.

В окружности с центром O проведены радиусы OM, OK и ON. Известно, что MK = KN. Нужно доказать, что треугольники MOK и NOK равны.

• Шаг 1: Рассмотрим треугольники MOK и NOK.
• Шаг 2: Докажем равенство треугольников по трем сторонам:
  • OK – общая сторона.
  • OM = ON (как радиусы одной окружности).
  • MK = KN (по условию).
• Шаг 3: Поскольку три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники MOK и NOK равны по третьему признаку равенства треугольников (SSS).

Ответ: Треугольники MOK и NOK равны по третьему признаку равенства треугольников (SSS).